Помоги решить задачи 10-13 из учебника алгебры

10. Давай сначала составим выражение для общего количества тетрадей, которые купил ученик. Он купил $m$ тетрадей по 8 рублей и $n$ тетрадей по 14 рублей. Чтобы узнать, сколько всего тетрадей он купил, нужно сложить количество тетрадей каждого вида: $m + n$. Теперь подставим значения $m = 24$ и $n = 56$ в наше выражение: $24 + 56 = 80$ **Ответ: 80 тетрадей** 11. 1) Для доказательства, что $\frac{1}{x^2 + 1}$ всегда положительное, нужно понять, что $x^2$ всегда неотрицательное (то есть больше или равно нулю), потому что любое число в квадрате такое. Значит, $x^2 + 1$ всегда больше или равно 1. А если знаменатель больше нуля, то и вся дробь $\frac{1}{x^2 + 1}$ тоже больше нуля, то есть положительная. 2) Чтобы доказать, что $\frac{x^2 + 1}{6x - 9 - x^2}$ отрицательное, преобразуем знаменатель: $6x - 9 - x^2 = -(x^2 - 6x + 9) = -(x - 3)^2$. $(x-3)^2$ всегда больше или равно нулю, значит $-(x - 3)^2$ всегда меньше или равно нулю. Так как числитель $x^2 + 1$ всегда положительный, а знаменатель $-(x - 3)^2$ всегда отрицательный (или равен нулю), то вся дробь будет отрицательной (или равна нулю). Важно помнить, что $x$ не может быть равен 3, потому что тогда знаменатель обращается в нуль, а на нуль делить нельзя. 12. 1) Докажем, что $\frac{-x^2}{x^2 + 5}$ неположительное. $x^2$ всегда больше или равно нулю. Значит, $-x^2$ всегда меньше или равно нулю. $x^2 + 5$ всегда больше нуля. Поэтому дробь $\frac{-x^2}{x^2 + 5}$ всегда меньше или равна нулю, то есть неположительная. 2) Докажем, что $\frac{x^2 + 4x + 4}{x^2 - 2x + 1}$ неотрицательное. Преобразуем числитель и знаменатель: $x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2$ и $x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2$. Тогда дробь можно записать как $\frac{(x + 2)^2}{(x - 1)^2}$. Квадрат любого числа всегда больше или равен нулю. Значит, и числитель, и знаменатель всегда неотрицательные. Поэтому вся дробь всегда неотрицательная. Важно помнить, что $x$ не может быть равен 1, потому что тогда знаменатель обращается в нуль, а на нуль делить нельзя. 13. Известно, что $5x - 15y = 1$. 1) Найдем значение выражения $x - 3y$: $5x - 15y = 1$. Разделим обе части уравнения на 5: $\frac{5x - 15y}{5} = \frac{1}{5}$ $x - 3y = \frac{1}{5}$ 2) Найдем значение выражения $\frac{8}{2x - 6y}$: Преобразуем знаменатель: $2x - 6y = 2(x - 3y)$. Мы уже знаем, что $x - 3y = \frac{1}{5}$. Подставим это в выражение: $\frac{8}{2x - 6y} = \frac{8}{2(x - 3y)} = \frac{8}{2 \cdot \frac{1}{5}} = \frac{8}{\frac{2}{5}} = 8 \cdot \frac{5}{2} = \frac{40}{2} = 20$ 3) Найдем значение выражения $\frac{9}{18y - 6x}$: Преобразуем знаменатель: $18y - 6x = -6x + 18y = -6(x - 3y)$. Мы уже знаем, что $x - 3y = \frac{1}{5}$. Подставим это в выражение: $\frac{9}{18y - 6x} = \frac{9}{-6(x - 3y)} = \frac{9}{-6 \cdot \frac{1}{5}} = \frac{9}{-\frac{6}{5}} = 9 \cdot (-\frac{5}{6}) = -\frac{45}{6} = -\frac{15}{2} = -7,5$ 4) Найдем значение выражения $\frac{1}{x^2 - 6xy + 9y^2}$: Преобразуем знаменатель: $x^2 - 6xy + 9y^2 = (x - 3y)^2$. Мы уже знаем, что $x - 3y = \frac{1}{5}$. Подставим это в выражение: $\frac{1}{x^2 - 6xy + 9y^2} = \frac{1}{(x - 3y)^2} = \frac{1}{(\frac{1}{5})^2} = \frac{1}{\frac{1}{25}} = 25$ **Ответ:** 1) $x - 3y = \frac{1}{5}$ 2) $\frac{8}{2x - 6y} = 20$ 3) $\frac{9}{18y - 6x} = -7,5$ 4) $\frac{1}{x^2 - 6xy + 9y^2} = 25$