Ты просишь решить задачи по геометрии из вариантов 1 и 2: определить принадлежность точек осям и плоскостям, найти расстояния между точками, найти координаты середины отрезка, доказать, что треугольник ABC равнобедренный/прямоугольный.

Вариант 1. 1. Чтобы точка принадлежала оси Oy, у неё должны быть координаты x = 0 и z = 0. Смотрим на точки: подходит только точка D(0; 1; 2). Чтобы точка принадлежала плоскости xOz, у неё должна быть координата y = 0. Подходят точки: A(-1; 0; 0), E(5; 0; 4), K(3; -5; 0), M(8; 0; 3), N(-6; 0; 0), L(-7; 4; 0). *Ответ: D(0; 1; 2) принадлежит оси Oy; A(-1; 0; 0), E(5; 0; 4), K(3; -5; 0), M(8; 0; 3), N(-6; 0; 0), L(-7; 4; 0) принадлежат плоскости xOz.* 2. Чтобы найти расстояние между точками M(1; -5) и N(-2; -1), используем формулу расстояния между двумя точками: $$\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$$. Подставляем координаты точек M и N: $$\sqrt{(-2 - 1)^2 + (-1 - (-5))^2} = \sqrt{(-3)^2 + (4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$. *Ответ: расстояние между точками M и N равно 5.* 3. Чтобы найти координаты середины отрезка MN, нужно найти среднее арифметическое координат точек M и N. Координаты середины K вычисляются по формулам: $$x_k = \frac{x_m + x_n}{2}$$, $$y_k = \frac{y_m + y_n}{2}$$. Подставляем координаты точек M(1; -5) и N(-2; -1): $$x_k = \frac{1 + (-2)}{2} = \frac{-1}{2} = -0.5$$, $$y_k = \frac{-5 + (-1)}{2} = \frac{-6}{2} = -3$$. *Ответ: координаты точки K(-0.5; -3).* 4. Чтобы доказать, что треугольник ABC равнобедренный, нужно найти длины сторон AB, BC и AC и проверить, есть ли среди них две равные. Длина стороны вычисляется по формуле расстояния между двумя точками: $$\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$$. Считаем длины сторон: - AB = $$\sqrt{(1 - 2)^2 + (-5 - 1)^2 + (0 - (-8))^2} = \sqrt{(-1)^2 + (-6)^2 + (8)^2} = \sqrt{1 + 36 + 64} = \sqrt{101}$$. - BC = $$\sqrt{(8 - 1)^2 + (1 - (-5))^2 + (-4 - 0)^2} = \sqrt{(7)^2 + (6)^2 + (-4)^2} = \sqrt{49 + 36 + 16} = \sqrt{101}$$. - AC = $$\sqrt{(8 - 2)^2 + (1 - 1)^2 + (-4 - (-8))^2} = \sqrt{(6)^2 + (0)^2 + (4)^2} = \sqrt{36 + 0 + 16} = \sqrt{52}$$. Так как AB = BC = $$\sqrt{101}$$, то треугольник ABC равнобедренный. *Ответ: треугольник ABC равнобедренный, так как AB = BC.* Вариант 2. 1. Чтобы точка принадлежала оси Oz, у неё должны быть координаты x = 0 и y = 0. Подходит точка H(0; 0; 3). Чтобы точка принадлежала плоскости zOy, у неё должна быть координата x = 0. Подходят точки: H(0; 0; 3), G(0; -3; -5). *Ответ: H(0; 0; 3) принадлежит оси Oz; H(0; 0; 3), G(0; -3; -5) принадлежат плоскости zOy.* 2. Чтобы найти расстояние между точками A(5; -4) и B(-3; 2), используем формулу расстояния между двумя точками: $$\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$$. Подставляем координаты точек A и B: $$\sqrt{(-3 - 5)^2 + (2 - (-4))^2} = \sqrt{(-8)^2 + (6)^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10$$. *Ответ: расстояние между точками A и B равно 10.* 3. Чтобы найти координаты середины отрезка AB, нужно найти среднее арифметическое координат точек A и B. Координаты середины C вычисляются по формулам: $$x_c = \frac{x_a + x_b}{2}$$, $$y_c = \frac{y_a + y_b}{2}$$. Подставляем координаты точек A(5; -4) и B(-3; 2): $$x_c = \frac{5 + (-3)}{2} = \frac{2}{2} = 1$$, $$y_c = \frac{-4 + 2}{2} = \frac{-2}{2} = -1$$. *Ответ: координаты точки C(1; -1).* 4. Чтобы доказать, что треугольник ABC прямоугольный, нужно проверить, выполняется ли теорема Пифагора: $a^2 + b^2 = c^2$, где a, b и c - длины сторон треугольника. Считаем длины сторон: - AB = $$\sqrt{(-1 - (-1))^2 + (-3 - 5)^2 + (9 - 3)^2} = \sqrt{(0)^2 + (-8)^2 + (6)^2} = \sqrt{0 + 64 + 36} = \sqrt{100} = 10$$. - BC = $$\sqrt{(3 - (-1))^2 + (-2 - (-3))^2 + (6 - 9)^2} = \sqrt{(4)^2 + (1)^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 1 + 9} = \sqrt{26}$$. - AC = $$\sqrt{(3 - (-1))^2 + (-2 - 5)^2 + (6 - 3)^2} = \sqrt{(4)^2 + (-7)^2 + (3)^2} = \sqrt{16 + 49 + 9} = \sqrt{74}$$. Проверяем теорему Пифагора: - $$AB^2 = 10^2 = 100$$ - $$BC^2 + AC^2 = (\sqrt{26})^2 + (\sqrt{74})^2 = 26 + 74 = 100$$ Так как $$AB^2 = BC^2 + AC^2$$, то треугольник ABC прямоугольный. *Ответ: треугольник ABC прямоугольный, так как выполняется теорема Пифагора.*