Конечно, сейчас помогу!
**1. Найдём производную функции $f(x) = x^2 - 6x + 4$ используя определение.**
Производная функции — это предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю. Формула такая:
$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}$
Шаги:
1. Найдём $f(x + h)$: Подставим $(x + h)$ вместо $x$ в функцию. Получим $f(x + h) = (x + h)^2 - 6(x + h) + 4 = x^2 + 2xh + h^2 - 6x - 6h + 4$.
2. Найдём $f(x + h) - f(x)$: Вычтем из полученного выражения исходную функцию. $f(x + h) - f(x) = (x^2 + 2xh + h^2 - 6x - 6h + 4) - (x^2 - 6x + 4) = 2xh + h^2 - 6h$.
3. Найдём $\frac{f(x + h) - f(x)}{h}$: Разделим полученное выражение на $h$. $\frac{2xh + h^2 - 6h}{h} = 2x + h - 6$.
4. Найдём $\lim_{h \to 0} (2x + h - 6)$: Устремим $h$ к нулю. $\lim_{h \to 0} (2x + h - 6) = 2x - 6$.
**Ответ:** $f'(x) = 2x - 6$
**2. Найдем $f'(x)$ и $f'(-2)$, если $f(x) = 2x^3 + x^2 - 3x + 3$.**
Чтобы найти производную, нужно знать основные правила:
* Производная $x^n$ равна $nx^{n-1}$.
* Производная константы равна 0.
* Производная суммы равна сумме производных.
**a) Найдём $f'(x)$:**
$f'(x) = (2x^3 + x^2 - 3x + 3)' = 2 * 3x^2 + 2x - 3 + 0 = 6x^2 + 2x - 3$.
**б) Найдём $f'(-2)$:**
Подставим $-2$ в производную: $f'(-2) = 6*(-2)^2 + 2*(-2) - 3 = 6 * 4 - 4 - 3 = 24 - 4 - 3 = 17$.
**Ответ:** $f'(x) = 6x^2 + 2x - 3$, $f'(-2) = 17$
**3. Найдем $f'(x)$ и $f'(1)$, если $f(x) = 3^x \cdot \log_3 x$.**
Чтобы решить эту задачу, нам понадобятся производные показательной и логарифмической функций, а также правило произведения:
* $(u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v'$
* $(a^x)' = a^x \ln a$
* $(\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a}$
**a) Найдем $f'(x)$:**
$f'(x) = (3^x \cdot \log_3 x)' = (3^x)' \cdot \log_3 x + 3^x \cdot (\log_3 x)' = 3^x \ln 3 \cdot \log_3 x + 3^x \cdot \frac{1}{x \ln 3}$.
**б) Найдем $f'(1)$:**
Подставим $x = 1$ в производную:
$f'(1) = 3^1 \ln 3 \cdot \log_3 1 + 3^1 \cdot \frac{1}{1 \ln 3} = 3 \ln 3 \cdot 0 + \frac{3}{\ln 3} = 0 + \frac{3}{\ln 3} = \frac{3}{\ln 3}$.
**Ответ:** $f'(x) = 3^x \ln 3 \cdot \log_3 x + \frac{3^x}{x \ln 3}$, $f'(1) = \frac{3}{\ln 3}$
**4. Найдем $f'(x)$ и $f'(3)$, если $f(x) = \frac{x^2 - 2}{x^2 - 4}$.**
Здесь понадобится правило производной частного:
$(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$
**a) Найдем $f'(x)$:**
$f'(x) = (\frac{x^2 - 2}{x^2 - 4})' = \frac{(x^2 - 2)'(x^2 - 4) - (x^2 - 2)(x^2 - 4)'}{(x^2 - 4)^2} = \frac{2x(x^2 - 4) - (x^2 - 2)2x}{(x^2 - 4)^2} = \frac{2x^3 - 8x - 2x^3 + 4x}{(x^2 - 4)^2} = \frac{-4x}{(x^2 - 4)^2}$.
**б) Найдем $f'(3)$:**
Подставим $x = 3$ в производную:
$f'(3) = \frac{-4 \cdot 3}{(3^2 - 4)^2} = \frac{-12}{(9 - 4)^2} = \frac{-12}{5^2} = -\frac{12}{25}$.
**Ответ:** $f'(x) = \frac{-4x}{(x^2 - 4)^2}$, $f'(3) = -\frac{12}{25}$
**5. Найдем $f'(x)$ и $f'(5)$, если $f(x) = \sqrt[10]{x}$.**
Сначала запишем корень в виде степени:
$f(x) = x^{\frac{1}{10}}$
Теперь найдем производную, используя правило производной степени:
**a) Найдем $f'(x)$:**
$f'(x) = (x^{\frac{1}{10}})' = \frac{1}{10}x^{\frac{1}{10} - 1} = \frac{1}{10}x^{-\frac{9}{10}} = \frac{1}{10\sqrt[10]{x^9}}$.
**б) Найдем $f'(5)$:**
Подставим $x = 5$ в производную:
$f'(5) = \frac{1}{10\sqrt[10]{5^9}}$.
**Ответ:** $f'(x) = \frac{1}{10\sqrt[10]{x^9}}$, $f'(5) = \frac{1}{10\sqrt[10]{5^9}}$
