Реши уравнение $\frac{x}{x-3} - \frac{5}{x+3} = \frac{18}{x^2 - 9}$

a) Давай решим уравнение $\frac{x}{x-3} - \frac{5}{x+3} = \frac{18}{x^2 - 9}$. Сначала нужно привести все дроби к общему знаменателю. Заметим, что $x^2 - 9$ это $(x-3)(x+3)$. $$\frac{x(x+3)}{(x-3)(x+3)} - \frac{5(x-3)}{(x+3)(x-3)} = \frac{18}{(x-3)(x+3)}$$ Теперь можно убрать знаменатели, так как они одинаковые: $$x(x+3) - 5(x-3) = 18$$ Раскрываем скобки: $$x^2 + 3x - 5x + 15 = 18$$ Приводим подобные слагаемые: $$x^2 - 2x + 15 - 18 = 0$$ $$x^2 - 2x - 3 = 0$$ Теперь у нас квадратное уравнение. Решим его через дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4(1)(-3) = 4 + 12 = 16$ Так как дискриминант больше нуля, то у нас два корня: $x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + \sqrt{16}}{2} = \frac{2 + 4}{2} = \frac{6}{2} = 3$ $x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - \sqrt{16}}{2} = \frac{2 - 4}{2} = \frac{-2}{2} = -1$ Проверим корни, чтобы не было деления на ноль в исходном уравнении. Если $x = 3$, то в первом члене будет деление на ноль, значит, $x = 3$ не подходит. **Ответ: $x = -1$** б) Решим уравнение $\frac{70}{x^2-16} - \frac{17}{x-4} = \frac{3x}{x+4}$. Прежде всего, разложим знаменатель первой дроби: $x^2 - 16 = (x-4)(x+4)$. Теперь перепишем уравнение: $$\frac{70}{(x-4)(x+4)} - \frac{17}{x-4} = \frac{3x}{x+4}$$ Приведём дроби к общему знаменателю $(x-4)(x+4)$: $$\frac{70}{(x-4)(x+4)} - \frac{17(x+4)}{(x-4)(x+4)} = \frac{3x(x-4)}{(x+4)(x-4)}$$ Теперь можно отбросить знаменатели, так как они одинаковые: $$70 - 17(x+4) = 3x(x-4)$$ Раскроем скобки: $$70 - 17x - 68 = 3x^2 - 12x$$ Приведём подобные члены и перенесём всё в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: $$3x^2 - 12x + 17x - 70 + 68 = 0$$ $$3x^2 + 5x - 2 = 0$$ Теперь решим квадратное уравнение через дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4(3)(-2) = 25 + 24 = 49$ Так как дискриминант больше нуля, у нас два корня: $x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + \sqrt{49}}{2(3)} = \frac{-5 + 7}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ $x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - \sqrt{49}}{2(3)} = \frac{-5 - 7}{6} = \frac{-12}{6} = -2$ Проверим корни на посторонние решения. В исходном уравнении не должно быть деления на ноль. Если $x = 4$ или $x = -4$, то знаменатели обращаются в ноль. У нас корни $x = \frac{1}{3}$ и $x = -2$, они не равны 4 или -4, значит, оба подходят. **Ответ: $x_1 = \frac{1}{3}$, $x_2 = -2$** в) Решим уравнение $\frac{3}{(2-x)^2} - \frac{5}{(x+2)^2} = \frac{14}{x^2-4}$. Заметим, что $x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$. Также $(2-x)^2 = (x-2)^2$. Перепишем уравнение: $$\frac{3}{(x-2)^2} - \frac{5}{(x+2)^2} = \frac{14}{(x-2)(x+2)}$$ Приведём дроби к общему знаменателю $(x-2)^2(x+2)^2$: $$\frac{3(x+2)^2}{(x-2)^2(x+2)^2} - \frac{5(x-2)^2}{(x+2)^2(x-2)^2} = \frac{14(x-2)(x+2)}{(x-2)^2(x+2)^2}$$ Уберём знаменатели: $$3(x+2)^2 - 5(x-2)^2 = 14(x-2)(x+2)$$ Раскроем скобки: $$3(x^2 + 4x + 4) - 5(x^2 - 4x + 4) = 14(x^2 - 4)$$ $$3x^2 + 12x + 12 - 5x^2 + 20x - 20 = 14x^2 - 56$$ Приведём подобные члены и перенесём всё в одну сторону: $$3x^2 - 5x^2 - 14x^2 + 12x + 20x + 12 - 20 + 56 = 0$$ $$-16x^2 + 32x + 48 = 0$$ Разделим всё уравнение на -16: $$x^2 - 2x - 3 = 0$$ Решим квадратное уравнение через дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4(1)(-3) = 4 + 12 = 16$ $x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + \sqrt{16}}{2} = \frac{2 + 4}{2} = \frac{6}{2} = 3$ $x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - \sqrt{16}}{2} = \frac{2 - 4}{2} = \frac{-2}{2} = -1$ Проверим корни. В исходном уравнении знаменатели не должны быть равны нулю. Значит, $x$ не должен быть равен 2 или -2. Оба корня $x = 3$ и $x = -1$ подходят. **Ответ: $x_1 = 3$, $x_2 = -1$** г) Решим уравнение $\frac{2}{4-x^2} - \frac{1}{2x-4} - \frac{7}{2x^2+4x} = 0$. Сначала разложим знаменатели: $4 - x^2 = (2-x)(2+x) = -(x-2)(x+2)$ $2x - 4 = 2(x-2)$ $2x^2 + 4x = 2x(x+2)$ Теперь перепишем уравнение: $$\frac{2}{-(x-2)(x+2)} - \frac{1}{2(x-2)} - \frac{7}{2x(x+2)} = 0$$ Приведём дроби к общему знаменателю $2x(x-2)(x+2)$: $$\frac{-2(2x)}{2x(x-2)(x+2)} - \frac{x(x+2)}{2x(x-2)(x+2)} - \frac{7(x-2)}{2x(x-2)(x+2)} = 0$$ Уберём знаменатели: $$-4x - x(x+2) - 7(x-2) = 0$$ Раскроем скобки: $$-4x - x^2 - 2x - 7x + 14 = 0$$ Приведём подобные члены и перенесём всё в одну сторону: $$-x^2 - 4x - 2x - 7x + 14 = 0$$ $$-x^2 - 13x + 14 = 0$$ Умножим всё на -1: $$x^2 + 13x - 14 = 0$$ Теперь решим квадратное уравнение через дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 13^2 - 4(1)(-14) = 169 + 56 = 225$ $x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-13 + \sqrt{225}}{2} = \frac{-13 + 15}{2} = \frac{2}{2} = 1$ $x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-13 - \sqrt{225}}{2} = \frac{-13 - 15}{2} = \frac{-28}{2} = -14$ Проверим корни. В исходном уравнении знаменатели не должны быть равны нулю. Значит, $x$ не должен быть равен 2, -2 или 0. Оба корня $x = 1$ и $x = -14$ подходят. **Ответ: $x_1 = 1$, $x_2 = -14$**