Конечно, давай решим эти уравнения!
а) $\frac{1}{x + 2} + \frac{1}{x^2 - 2x} = \frac{8}{x^3 - 4x}$;
$\frac{1}{x + 2} + \frac{1}{x(x - 2)} = \frac{8}{x(x^2 - 4)}$;
$\frac{1}{x + 2} + \frac{1}{x(x - 2)} = \frac{8}{x(x - 2)(x + 2)}$;
Теперь нужно избавиться от знаменателей. Домножим обе части уравнения на $x(x - 2)(x + 2)$, чтобы убрать все дроби:
$x(x - 2) + (x + 2) = 8$;
$x^2 - 2x + x + 2 = 8$;
$x^2 - x - 6 = 0$;
Теперь решим квадратное уравнение. Можно использовать формулу дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25$;
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + 5}{2} = 3$;
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - 5}{2} = -2$;
Проверим, не обращаются ли знаменатели в нуль при этих значениях. Если $x = 3$, то всё хорошо. Если $x = -2$, то знаменатель $x + 2$ обращается в нуль, значит, это посторонний корень.
**Ответ: $x = 3$**
б) $\frac{x}{x + 1} - \frac{1}{x - 1} - \frac{2}{x^2 - 1} = 0$;
Заметим, что $x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$. Приведём всё к общему знаменателю:
$\frac{x(x - 1) - (x + 1) - 2}{(x + 1)(x - 1)} = 0$;
$\frac{x^2 - x - x - 1 - 2}{(x + 1)(x - 1)} = 0$;
$\frac{x^2 - 2x - 3}{(x + 1)(x - 1)} = 0$;
Чтобы дробь была равна нулю, нужно, чтобы числитель был равен нулю:
$x^2 - 2x - 3 = 0$;
$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$;
$x_1 = \frac{2 + 4}{2} = 3$;
$x_2 = \frac{2 - 4}{2} = -1$;
Проверим, не обращаются ли знаменатели в нуль. Если $x = 3$, то всё хорошо. Если $x = -1$, то знаменатель $x + 1$ обращается в нуль, значит, это посторонний корень.
**Ответ: $x = 3$**
в) $\frac{2x}{x + 2} + \frac{1}{x - 2} - \frac{4}{x^2 - 4} = 0$;
Заметим, что $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$. Приведём всё к общему знаменателю:
$\frac{2x(x - 2) + (x + 2) - 4}{(x + 2)(x - 2)} = 0$;
$\frac{2x^2 - 4x + x + 2 - 4}{(x + 2)(x - 2)} = 0$;
$\frac{2x^2 - 3x - 2}{(x + 2)(x - 2)} = 0$;
Чтобы дробь была равна нулю, нужно, чтобы числитель был равен нулю:
$2x^2 - 3x - 2 = 0$;
$D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$;
$x_1 = \frac{3 + 5}{4} = 2$;
$x_2 = \frac{3 - 5}{4} = -\frac{1}{2}$;
Проверим, не обращаются ли знаменатели в нуль. Если $x = 2$, то знаменатель $x - 2$ обращается в нуль, значит, это посторонний корень. Если $x = -\frac{1}{2}$, то всё хорошо.
**Ответ: $x = -\frac{1}{2}$**
г) $\frac{2}{x^2 + 5x} + \frac{3}{2x - 10} = \frac{15}{x^2 - 25}$;
$\frac{2}{x(x + 5)} + \frac{3}{2(x - 5)} = \frac{15}{(x - 5)(x + 5)}$;
Приведём всё к общему знаменателю:
$\frac{2 \cdot 2(x - 5) + 3 \cdot x(x + 5)}{2x(x + 5)(x - 5)} = \frac{15 \cdot x}{2x(x - 5)(x + 5)}$;
$\frac{4(x - 5) + 3x(x + 5)}{2x(x + 5)(x - 5)} = \frac{15x}{2x(x - 5)(x + 5)}$;
$4x - 20 + 3x^2 + 15x = 15x$;
$3x^2 + 4x - 20 = 0$;
$D = 4^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-20) = 16 + 240 = 256$;
$x_1 = \frac{-4 + 16}{6} = 2$;
$x_2 = \frac{-4 - 16}{6} = -\frac{10}{3}$;
Проверим, не обращаются ли знаменатели в нуль. Если $x = 2$, то всё хорошо. Если $x = -\frac{10}{3}$, то всё хорошо.
**Ответ: $x = 2$, $x = -\frac{10}{3}$**
