Просишь доказать тождество sin 2α (sin 2α + sin 2β) + cos 2α (cos 2α + cos 2β) = 2 cos² (α – β)

Question

Вопрос:

Просишь доказать тождество sin 2α (sin 2α + sin 2β) + cos 2α (cos 2α + cos 2β) = 2 cos² (α – β)

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

Привет! Давай докажем тождество из твоего задания. Я покажу как это делается на примере тождества под буквой B). Чтобы доказать тождество $$sin 2\alpha (sin 2\alpha + sin 2\beta) + cos 2\alpha (cos 2\alpha + cos 2\beta) = 2 cos^2 (\alpha - \beta)$$ нужно упростить левую часть и показать, что она равна правой. Раскроем скобки в левой части: $$sin 2\alpha \cdot sin 2\alpha + sin 2\alpha \cdot sin 2\beta + cos 2\alpha \cdot cos 2\alpha + cos 2\alpha \cdot cos 2\beta$$ Сгруппируем члены, содержащие одинаковые углы: $$(sin^2 2\alpha + cos^2 2\alpha) + (sin 2\alpha \cdot sin 2\beta + cos 2\alpha \cdot cos 2\beta)$$ Применим основное тригонометрическое тождество $sin^2 x + cos^2 x = 1$ к первой группе, а ко второй группе - формулу косинуса суммы $cos(a - b) = cos a \cdot cos b + sin a \cdot sin b$: $$1 + cos(2\alpha - 2\beta)$$ Вынесем 2 за скобки в аргументе косинуса: $$1 + cos(2(\alpha - \beta))$$ Применим формулу двойного угла для косинуса $cos 2x = 2 cos^2 x - 1$: $$1 + 2 cos^2 (\alpha - \beta) - 1$$ Упростим выражение: $$2 cos^2 (\alpha - \beta)$$ Получили правую часть исходного тождества. Тождество доказано. Аналогично можно доказать и остальные тождества.

Просишь доказать тождество sin 2α (sin 2α + sin 2β) + cos 2α (cos 2α + cos 2β) = 2 cos² (α – β)

Ответ ассистента

Другие решения