Докажи тригонометрические тождества в номере 679 под буквами а и б

a) Чтобы доказать тождество $\tg \frac{\alpha}{2} = \frac{1 - \cos \alpha}{\sin \alpha}$, нужно вспомнить определения тангенса и основные тригонометрические формулы. $\tg \frac{\alpha}{2} = \frac{\sin \frac{\alpha}{2}}{\cos \frac{\alpha}{2}}$ Используем формулы половинного угла: $\sin \alpha = 2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2}$ $\cos \alpha = \cos^2 \frac{\alpha}{2} - \sin^2 \frac{\alpha}{2}$ Тогда: $\frac{1 - \cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{1 - (\cos^2 \frac{\alpha}{2} - \sin^2 \frac{\alpha}{2})}{2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2}} = \frac{1 - \cos^2 \frac{\alpha}{2} + \sin^2 \frac{\alpha}{2}}{2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2}}$ Так как $1 - \cos^2 \frac{\alpha}{2} = \sin^2 \frac{\alpha}{2}$, то: $\frac{\sin^2 \frac{\alpha}{2} + \sin^2 \frac{\alpha}{2}}{2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2}} = \frac{2 \sin^2 \frac{\alpha}{2}}{2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2}} = \frac{\sin \frac{\alpha}{2}}{\cos \frac{\alpha}{2}} = \tg \frac{\alpha}{2}$ Что и требовалось доказать. б) Чтобы доказать тождество $\tg \frac{\alpha}{2} = \frac{\sin \alpha}{1 + \cos \alpha}$, можно использовать аналогичные рассуждения. $\frac{\sin \alpha}{1 + \cos \alpha} = \frac{2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2}}{1 + (\cos^2 \frac{\alpha}{2} - \sin^2 \frac{\alpha}{2})} = \frac{2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2}}{\cos^2 \frac{\alpha}{2} + \sin^2 \frac{\alpha}{2} + \cos^2 \frac{\alpha}{2} - \sin^2 \frac{\alpha}{2}} = \frac{2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2}}{2 \cos^2 \frac{\alpha}{2}} = \frac{\sin \frac{\alpha}{2}}{\cos \frac{\alpha}{2}} = \tg \frac{\alpha}{2}$ Что и требовалось доказать.