Помоги мне решить уравнение \frac{2}{x^2 + 5x} + \frac{3}{2x - 10} = \frac{15}{x^2 - 25}

Привет! Давай решим это уравнение вместе. Сначала запишем уравнение: $$\frac{2}{x^2 + 5x} + \frac{3}{2x - 10} = \frac{15}{x^2 - 25}$$ **Шаг 1: Разложим знаменатели на множители, чтобы упростить уравнение.** $x^2 + 5x = x(x + 5)$ $2x - 10 = 2(x - 5)$ $x^2 - 25 = (x + 5)(x - 5)$ Теперь наше уравнение выглядит так: $$\frac{2}{x(x + 5)} + \frac{3}{2(x - 5)} = \frac{15}{(x + 5)(x - 5)}$$ **Шаг 2: Найдем общий знаменатель для всех дробей.** Общий знаменатель: $2x(x + 5)(x - 5)$ **Шаг 3: Приведем каждую дробь к общему знаменателю.** $$\frac{2 \cdot 2(x - 5)}{2x(x + 5)(x - 5)} + \frac{3 \cdot x(x + 5)}{2x(x + 5)(x - 5)} = \frac{15 \cdot 2x}{2x(x + 5)(x - 5)}$$ **Шаг 4: Упростим числители.** $$\frac{4(x - 5)}{2x(x + 5)(x - 5)} + \frac{3x(x + 5)}{2x(x + 5)(x - 5)} = \frac{30x}{2x(x + 5)(x - 5)}$$ $$\frac{4x - 20}{2x(x + 5)(x - 5)} + \frac{3x^2 + 15x}{2x(x + 5)(x - 5)} = \frac{30x}{2x(x + 5)(x - 5)}$$ **Шаг 5: Поскольку у всех дробей одинаковый знаменатель, мы можем сложить числители.** $$4x - 20 + 3x^2 + 15x = 30x$$ **Шаг 6: Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение.** $$3x^2 + 19x - 20 - 30x = 0$$ $$3x^2 - 11x - 20 = 0$$ **Шаг 7: Решим квадратное уравнение. Можно использовать формулу дискриминанта:** $D = b^2 - 4ac$ $D = (-11)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-20) = 121 + 240 = 361$ Поскольку дискриминант больше нуля, у нас будет два корня: $x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{11 + \sqrt{361}}{2 \cdot 3} = \frac{11 + 19}{6} = \frac{30}{6} = 5$ $x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{11 - \sqrt{361}}{2 \cdot 3} = \frac{11 - 19}{6} = \frac{-8}{6} = -\frac{4}{3}$ **Шаг 8: Проверим корни, чтобы убедиться, что они не делают знаменатель исходного уравнения равным нулю.** Если $x = 5$, то $2x - 10 = 0$ и $x^2 - 25 = 0$. Значит, $x = 5$ не является решением. Если $x = -\frac{4}{3}$, то все знаменатели не равны нулю. Значит, $x = -\frac{4}{3}$ является решением. **Ответ: $x = -\frac{4}{3}$**