Как решить уравнение $\frac{2}{x^2+5x} + \frac{3}{2x-10} = \frac{15}{x^2-25}$?

Чтобы решить уравнение $\frac{2}{x^2+5x} + \frac{3}{2x-10} = \frac{15}{x^2-25}$, нужно привести дроби к общему знаменателю и решить получившееся уравнение. 1. **Приводим к общему знаменателю:** * Заметим, что $x^2 + 5x = x(x+5)$, $2x - 10 = 2(x-5)$ и $x^2 - 25 = (x+5)(x-5)$. * Общий знаменатель будет $2x(x+5)(x-5)$. * Приводим каждую дробь к общему знаменателю: $$\frac{2}{x(x+5)} + \frac{3}{2(x-5)} = \frac{15}{(x+5)(x-5)}$$ $$\frac{2 \cdot 2(x-5)}{2x(x+5)(x-5)} + \frac{3 \cdot x(x+5)}{2x(x+5)(x-5)} = \frac{15 \cdot 2x}{2x(x+5)(x-5)}$$ 2. **Упрощаем числители:** $$\frac{4(x-5)}{2x(x+5)(x-5)} + \frac{3x(x+5)}{2x(x+5)(x-5)} = \frac{30x}{2x(x+5)(x-5)}$$ $$\frac{4x - 20}{2x(x+5)(x-5)} + \frac{3x^2 + 15x}{2x(x+5)(x-5)} = \frac{30x}{2x(x+5)(x-5)}$$ 3. **Объединяем дроби:** $$\frac{4x - 20 + 3x^2 + 15x}{2x(x+5)(x-5)} = \frac{30x}{2x(x+5)(x-5)}$$ 4. **Приравниваем числители:** Так как знаменатели равны, можно приравнять числители: $$3x^2 + 19x - 20 = 30x$$ 5. **Переносим все в одну сторону:** $$3x^2 + 19x - 30x - 20 = 0$$ $$3x^2 - 11x - 20 = 0$$ 6. **Решаем квадратное уравнение:** Теперь у нас есть квадратное уравнение. Решаем его через дискриминант: * $D = b^2 - 4ac = (-11)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-20) = 121 + 240 = 361$ * $x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{11 + \sqrt{361}}{2 \cdot 3} = \frac{11 + 19}{6} = \frac{30}{6} = 5$ * $x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{11 - \sqrt{361}}{2 \cdot 3} = \frac{11 - 19}{6} = \frac{-8}{6} = -\frac{4}{3}$ 7. **Проверяем корни:** * $x = 5$ не подходит, так как в знаменателе будет ноль (на ноль делить нельзя). * $x = -\frac{4}{3}$ подходит. **Ответ: $x = -\frac{4}{3}$**