Можешь ли ты решить несколько заданий по математике: вычислить (0,0001)⁻⁴ * 10⁻¹⁵, сократить дробь (x² - 2x - 8) / (x² - 16), решить уравнение 5(x - 1) + 3 = 3x - 4 и другие?

Конечно, я помогу тебе с этими заданиями! Давай разберём их по порядку. 15. Вычислим $(0,0001)^{-4} \cdot 10^{-15}$. Сначала разберёмся с $0,0001$. Это $10^{-4}$. Значит, $(0,0001)^{-4} = (10^{-4})^{-4} = 10^{16}$. Теперь умножим на $10^{-15}$: $10^{16} \cdot 10^{-15} = 10^{16-15} = 10^1 = 10$. **Ответ: 10** 16. Сократим дробь $\frac{x^2 - 2x - 8}{x^2 - 16}$. Разложим числитель и знаменатель на множители. Числитель: $x^2 - 2x - 8 = (x - 4)(x + 2)$. Знаменатель: $x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4)$. Теперь сократим: $\frac{(x - 4)(x + 2)}{(x - 4)(x + 4)} = \frac{x + 2}{x + 4}$. **Ответ: $\frac{x + 2}{x + 4}$** 17. Решим уравнение: a) $5(x - 1) + 3 = 3x - 4$; $5x - 5 + 3 = 3x - 4$ $5x - 2 = 3x - 4$ $5x - 3x = -4 + 2$ $2x = -2$ $x = -1$ **Ответ: $x = -1$** б) $\frac{x}{x^2 - 25} + \frac{4 - x}{x - 5} = 0$. Заметим, что $x^2 - 25 = (x - 5)(x + 5)$. Приведём к общему знаменателю: $\frac{x}{(x - 5)(x + 5)} + \frac{(4 - x)(x + 5)}{(x - 5)(x + 5)} = 0$ $\frac{x + (4 - x)(x + 5)}{(x - 5)(x + 5)} = 0$ $x + (4 - x)(x + 5) = 0$ $x + 4x + 20 - x^2 - 5x = 0$ $-x^2 + 20 = 0$ $x^2 = 20$ $x = \pm \sqrt{20} = \pm 2\sqrt{5}$ **Ответ: $x = \pm 2\sqrt{5}$** 18. Найдём значение выражения: a) $(\sqrt{27} + \sqrt{3})^2$; $(\sqrt{27} + \sqrt{3})^2 = (3\sqrt{3} + \sqrt{3})^2 = (4\sqrt{3})^2 = 16 \cdot 3 = 48$. **Ответ: 48** б) $(2\sqrt{5} + 1)(1 - 2\sqrt{5})$. $(2\sqrt{5} + 1)(1 - 2\sqrt{5}) = 2\sqrt{5} - 4 \cdot 5 + 1 - 2\sqrt{5} = 1 - 20 = -19$. **Ответ: -19** 19. Решим неравенство: a) $7x - 1 \le 4(x + 2)$; $7x - 1 \le 4x + 8$ $7x - 4x \le 8 + 1$ $3x \le 9$ $x \le 3$ **Ответ: $x \le 3$** б) $6x^2 - x - 1 > 0$; Найдем корни квадратного уравнения $6x^2 - x - 1 = 0$. $D = (-1)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-1) = 1 + 24 = 25$ $x_1 = \frac{1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 6} = \frac{1 + 5}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$ $x_2 = \frac{1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 6} = \frac{1 - 5}{12} = \frac{-4}{12} = -\frac{1}{3}$ Так как коэффициент при $x^2$ положительный, парабола направлена вверх. Значит, $6x^2 - x - 1 > 0$ при $x < -\frac{1}{3}$ или $x > \frac{1}{2}$. **Ответ: $x < -\frac{1}{3}$ или $x > \frac{1}{2}$** в) $\frac{(x - 2)^2}{(x + 3)(x - 1)} \le 0$. $(x - 2)^2$ всегда неотрицательно. Значит, дробь будет неположительной, когда $(x + 3)(x - 1) < 0$. Решим это неравенство. Корни: $x = -3$ и $x = 1$. Интервалы: $(-\infty, -3)$, $(-3, 1)$, $(1, +\infty)$. Подставим значения из каждого интервала: -4, 0, 2. Получим знаки +, -, +. Значит, $(x + 3)(x - 1) < 0$ при $-3 < x < 1$. Еще нужно учесть, что $(x - 2)^2 = 0$ при $x = 2$, но это значение не входит в наш интервал. Исключаем также $x = -3$ и $x = 1$, так как на них делить нельзя. **Ответ: $-3 < x < 1$** 20. Найдём область определения функции $y = \sqrt{16 - x^2}$. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $16 - x^2 \ge 0$. Значит, $x^2 \le 16$, то есть $-4 \le x \le 4$. **Ответ: $-4 \le x \le 4$** 21. Решим систему уравнений $\begin{cases} x^2 - y = 15, \ y - x = 5. \end{cases}$ Выразим $y$ из второго уравнения: $y = x + 5$. Подставим в первое уравнение: $x^2 - (x + 5) = 15$ $x^2 - x - 5 = 15$ $x^2 - x - 20 = 0$ $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 1 + 80 = 81$ $x_1 = \frac{1 + \sqrt{81}}{2} = \frac{1 + 9}{2} = \frac{10}{2} = 5$ $x_2 = \frac{1 - \sqrt{81}}{2} = \frac{1 - 9}{2} = \frac{-8}{2} = -4$ Теперь найдем $y$: Если $x = 5$, то $y = 5 + 5 = 10$. Если $x = -4$, то $y = -4 + 5 = 1$. **Ответ: $(5, 10)$ и $(-4, 1)$** 22. Построим параболу $y = -x^2 + 4$ и прямую $y = x - 2$ и найдем координаты точек пересечения этих графиков. Чтобы найти точки пересечения, приравняем уравнения: $-x^2 + 4 = x - 2$ $x^2 + x - 6 = 0$ $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25$ $x_1 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2} = \frac{-1 + 5}{2} = \frac{4}{2} = 2$ $x_2 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2} = \frac{-1 - 5}{2} = \frac{-6}{2} = -3$ Теперь найдем $y$: Если $x = 2$, то $y = 2 - 2 = 0$. Если $x = -3$, то $y = -3 - 2 = -5$. **Ответ: $(2, 0)$ и $(-3, -5)$** 23. Определим, рациональным или иррациональным числом является значение выражения $(3 - \sqrt{2})^2 + \sqrt{(8 - 6\sqrt{2})^2}$. $(3 - \sqrt{2})^2 = 9 - 6\sqrt{2} + 2 = 11 - 6\sqrt{2}$. $\sqrt{(8 - 6\sqrt{2})^2} = |8 - 6\sqrt{2}|$. Так как $6\sqrt{2} = \sqrt{36 \cdot 2} = \sqrt{72}$, то $6\sqrt{2} > 8$, значит, $|8 - 6\sqrt{2}| = 6\sqrt{2} - 8$. Теперь сложим: $11 - 6\sqrt{2} + 6\sqrt{2} - 8 = 11 - 8 = 3$. Так как 3 - рациональное число, то и всё выражение рациональное. **Ответ: Рациональное число**