Конечно, давай решим эти задания вместе!
30 a) $x^2 - 17x + 60$
Чтобы разложить квадратный трехчлен на множители, нужно найти его корни. Сначала решим квадратное уравнение $x^2 - 17x + 60 = 0$.
Дискриминант $D = (-17)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 60 = 289 - 240 = 49$.
Корни уравнения:
$$x_1 = \frac{-(-17) + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{17 + 7}{2} = \frac{24}{2} = 12$$
$$x_2 = \frac{-(-17) - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{17 - 7}{2} = \frac{10}{2} = 5$$
Теперь запишем разложение на множители: $x^2 - 17x + 60 = (x - 12)(x - 5)$.
31 a) $\frac{3x^2 - 10x + 3}{x^2 - 9}$
Сначала разложим числитель $3x^2 - 10x + 3$ на множители. Решим квадратное уравнение $3x^2 - 10x + 3 = 0$.
Дискриминант $D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64$.
Корни уравнения:
$$x_1 = \frac{-(-10) + \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10 + 8}{6} = \frac{18}{6} = 3$$
$$x_2 = \frac{-(-10) - \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10 - 8}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$
Тогда $3x^2 - 10x + 3 = 3(x - 3)(x - \frac{1}{3}) = (x - 3)(3x - 1)$.
Знаменатель $x^2 - 9$ можно разложить как разность квадратов: $x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$.
Теперь сократим дробь:
$$\frac{3x^2 - 10x + 3}{x^2 - 9} = \frac{(x - 3)(3x - 1)}{(x - 3)(x + 3)} = \frac{3x - 1}{x + 3}$$
32 a) $5 - \frac{13}{7} \sqrt{1\frac{27}{169}}$
Сначала упростим выражение под корнем:
$1\frac{27}{169} = \frac{169 + 27}{169} = \frac{196}{169}$.
Теперь найдем корень:
$\sqrt{\frac{196}{169}} = \frac{\sqrt{196}}{\sqrt{169}} = \frac{14}{13}$.
Подставим это в исходное выражение:
$5 - \frac{13}{7} \cdot \frac{14}{13} = 5 - \frac{13 \cdot 14}{7 \cdot 13} = 5 - \frac{14}{7} = 5 - 2 = 3$.
30 б) $3x^2 + 35x - 38$
Чтобы разложить квадратный трехчлен на множители, сначала решим квадратное уравнение $3x^2 + 35x - 38 = 0$.
Дискриминант $D = 35^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-38) = 1225 + 456 = 1681$.
Корни уравнения:
$$x_1 = \frac{-35 + \sqrt{1681}}{2 \cdot 3} = \frac{-35 + 41}{6} = \frac{6}{6} = 1$$
$$x_2 = \frac{-35 - \sqrt{1681}}{2 \cdot 3} = \frac{-35 - 41}{6} = \frac{-76}{6} = -\frac{38}{3}$$
Теперь запишем разложение на множители: $3x^2 + 35x - 38 = 3(x - 1)(x + \frac{38}{3}) = (x - 1)(3x + 38)$.
31 б) $\frac{5x^2 + x - 4}{x^2 + x}$
Сначала разложим числитель $5x^2 + x - 4$ на множители. Решим квадратное уравнение $5x^2 + x - 4 = 0$.
Дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-4) = 1 + 80 = 81$.
Корни уравнения:
$$x_1 = \frac{-1 + \sqrt{81}}{2 \cdot 5} = \frac{-1 + 9}{10} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$$
$$x_2 = \frac{-1 - \sqrt{81}}{2 \cdot 5} = \frac{-1 - 9}{10} = \frac{-10}{10} = -1$$
Тогда $5x^2 + x - 4 = 5(x - \frac{4}{5})(x + 1) = (5x - 4)(x + 1)$.
Знаменатель $x^2 + x$ можно разложить на множители, вынеся x за скобки: $x^2 + x = x(x + 1)$.
Теперь сократим дробь:
$$\frac{5x^2 + x - 4}{x^2 + x} = \frac{(5x - 4)(x + 1)}{x(x + 1)} = \frac{5x - 4}{x}$$
32 б) $\sqrt{\frac{165^2 - 124^2}{164}}$
Воспользуемся формулой разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.
Тогда $165^2 - 124^2 = (165 - 124)(165 + 124) = 41 \cdot 289$.
Подставим это в исходное выражение:
$$\sqrt{\frac{165^2 - 124^2}{164}} = \sqrt{\frac{41 \cdot 289}{164}} = \sqrt{\frac{41 \cdot 289}{4 \cdot 41}} = \sqrt{\frac{289}{4}} = \frac{\sqrt{289}}{\sqrt{4}} = \frac{17}{2} = 8,5$$
30 в) $2x^2 - 297$
Вынесем общий множитель за скобки:
$2x^2 - 297 = 2(x^2 - \frac{297}{2})$
Тут можно оставить так, если мы раскладываем на множители в пределах рациональных чисел. Но если нужно разложить дальше, то можно представить это как разность квадратов:
$2(x^2 - \frac{297}{2}) = 2(x - \sqrt{\frac{297}{2}})(x + \sqrt{\frac{297}{2}})$ или $2(x - \frac{3\sqrt{66}}{2})(x + \frac{3\sqrt{66}}{2})$.
31 в) $\frac{2x^2 - 9x}{x^2 - 16}$
Сначала разложим числитель $2x^2 - 9x$ на множители, вынесем x за скобки: $2x^2 - 9x = x(2x - 9)$.
Знаменатель $x^2 - 16$ можно разложить как разность квадратов: $x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4)$.
Теперь запишем дробь:
$$\frac{2x^2 - 9x}{x^2 - 16} = \frac{x(2x - 9)}{(x - 4)(x + 4)}$$
Здесь ничего не сокращается.
32 в) $4 - \frac{7}{4} \sqrt{5\frac{5}{4}}$
Преобразуем смешанную дробь в неправильную: $5\frac{5}{4} = \frac{5 \cdot 4 + 5}{4} = \frac{25}{4}$.
Теперь найдем корень:
$\sqrt{\frac{25}{4}} = \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{4}} = \frac{5}{2}$.
Подставим это в исходное выражение:
$4 - \frac{7}{4} \cdot \frac{5}{2} = 4 - \frac{7 \cdot 5}{4 \cdot 2} = 4 - \frac{35}{8} = \frac{4 \cdot 8 - 35}{8} = \frac{32 - 35}{8} = \frac{-3}{8} = -0,375$.
30 г) $x^2 + 26x$
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x^2 + 26x = x(x + 26)$.
31 г) $\frac{2x^2 + 5x}{x^2 - 9}$
Сначала разложим числитель $2x^2 + 5x$ на множители, вынесем x за скобки: $2x^2 + 5x = x(2x + 5)$.
Знаменатель $x^2 - 9$ можно разложить как разность квадратов: $x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$.
Теперь запишем дробь:
$$\frac{2x^2 + 5x}{x^2 - 9} = \frac{x(2x + 5)}{(x - 3)(x + 3)}$$
Здесь ничего не сокращается.
32 г) $\sqrt{\frac{145,5^2 - 193,5^2}{}}$
**Недостаточно данных для точного решения.**
1. Отсутствует знаменатель под корнем.
Надеюсь, теперь тебе всё понятно! Если что-то осталось неясным, спрашивай.
