Ты просишь вычислить выражения, используя приём представления дробей в виде разности

Конечно, давай вычислим эти выражения, используя представление дробей в виде разности. Это как игра в LEGO, где каждая дробь – это отдельный блок, и мы их соединяем или разделяем, чтобы упростить задачу. Я покажу решение для каждого примера. а) $\frac{1}{3 \cdot 4} + \frac{1}{4 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 6} + \frac{1}{6 \cdot 7}$ $\frac{1}{3 \cdot 4} = \frac{1}{3} - \frac{1}{4}$ $\frac{1}{4 \cdot 5} = \frac{1}{4} - \frac{1}{5}$ $\frac{1}{5 \cdot 6} = \frac{1}{5} - \frac{1}{6}$ $\frac{1}{6 \cdot 7} = \frac{1}{6} - \frac{1}{7}$ Теперь сложим всё вместе: $(\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) + (\frac{1}{4} - \frac{1}{5}) + (\frac{1}{5} - \frac{1}{6}) + (\frac{1}{6} - \frac{1}{7}) = \frac{1}{3} - \frac{1}{7} = \frac{7 - 3}{21} = \frac{4}{21}$ б) $\frac{1}{10 \cdot 11} + \frac{1}{11 \cdot 12} + ... + \frac{1}{19 \cdot 20}$ Представим каждую дробь как разность: $\frac{1}{10 \cdot 11} = \frac{1}{10} - \frac{1}{11}$ $\frac{1}{11 \cdot 12} = \frac{1}{11} - \frac{1}{12}$ ... $\frac{1}{19 \cdot 20} = \frac{1}{19} - \frac{1}{20}$ Сложим всё вместе, замечая, что многие дроби сокращаются: $\frac{1}{10} - \frac{1}{11} + \frac{1}{11} - \frac{1}{12} + ... + \frac{1}{19} - \frac{1}{20} = \frac{1}{10} - \frac{1}{20} = \frac{2 - 1}{20} = \frac{1}{20}$ в) $\frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12} + \frac{1}{20}$ Представим каждую дробь как: $\frac{1}{2} = \frac{1}{1 \cdot 2} = \frac{1}{1} - \frac{1}{2}$ $\frac{1}{6} = \frac{1}{2 \cdot 3} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3}$ $\frac{1}{12} = \frac{1}{3 \cdot 4} = \frac{1}{3} - \frac{1}{4}$ $\frac{1}{20} = \frac{1}{4 \cdot 5} = \frac{1}{4} - \frac{1}{5}$ Сложим всё вместе: $(\frac{1}{1} - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) + (\frac{1}{4} - \frac{1}{5}) = \frac{1}{1} - \frac{1}{5} = \frac{5 - 1}{5} = \frac{4}{5}$ г) $\frac{1}{3} + \frac{1}{15} + \frac{1}{35} + \frac{1}{63} + \frac{1}{99}$ Представим каждую дробь как: $\frac{1}{3} = \frac{1}{1 \cdot 3} = \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{1} - \frac{1}{3})$ $\frac{1}{15} = \frac{1}{3 \cdot 5} = \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{3} - \frac{1}{5})$ $\frac{1}{35} = \frac{1}{5 \cdot 7} = \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{5} - \frac{1}{7})$ $\frac{1}{63} = \frac{1}{7 \cdot 9} = \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{7} - \frac{1}{9})$ $\frac{1}{99} = \frac{1}{9 \cdot 11} = \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{9} - \frac{1}{11})$ Сложим всё вместе: $\frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{5} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{7} - \frac{1}{9} + \frac{1}{9} - \frac{1}{11}) = \frac{1}{2} \cdot (1 - \frac{1}{11}) = \frac{1}{2} \cdot (\frac{11 - 1}{11}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{10}{11} = \frac{5}{11}$ Вот и всё! Если у тебя будут ещё вопросы, обращайся!