Можешь решить уравнения: cos²x + 2 sin 2x = 2, 7 sin² 5x + cos25x = 4 sin 10x, 4 sin² 3x + 3 sin 3x cos 3x-7 co?

Привет! Давай решим эти уравнения вместе! a) $\cos^2 x + 2 \sin 2x = 2$ Допущение: Нужно решить уравнение относительно x. $\cos^2 x + 4 \sin x \cos x = 2$ $\cos^2 x + 4 \sin x \cos x = 2(\sin^2 x + \cos^2 x)$ $\cos^2 x + 4 \sin x \cos x = 2\sin^2 x + 2\cos^2 x$ $2\sin^2 x - 4 \sin x \cos x + \cos^2 x = 0$ Разделим обе части уравнения на $\cos^2 x$ (если $\cos x = 0$, то $\sin x = \pm 1$, что не является решением): $2\tan^2 x - 4 \tan x + 1 = 0$ Пусть $t = \tan x$, тогда уравнение принимает вид: $2t^2 - 4t + 1 = 0$ Решим это квадратное уравнение: $D = (-4)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 16 - 8 = 8$ $t_1 = \frac{4 + \sqrt{8}}{4} = \frac{4 + 2\sqrt{2}}{4} = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2}$ $t_2 = \frac{4 - \sqrt{8}}{4} = \frac{4 - 2\sqrt{2}}{4} = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}$ Теперь найдем x: $x_1 = \arctan(1 + \frac{\sqrt{2}}{2}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$ $x_2 = \arctan(1 - \frac{\sqrt{2}}{2}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$ б) $7 \sin^2 5x + \cos^2 5x = 4 \sin 10x$ Допущение: Нужно решить уравнение относительно x. Используем формулу двойного угла: $\sin 10x = 2 \sin 5x \cos 5x$ $7 \sin^2 5x + \cos^2 5x = 8 \sin 5x \cos 5x$ Преобразуем левую часть, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 5x + \cos^2 5x = 1$: $6 \sin^2 5x + 1 = 8 \sin 5x \cos 5x$ $6 \sin^2 5x - 8 \sin 5x \cos 5x + 1 = 0$ Разделим обе части уравнения на $\cos^2 5x$ (если $\cos 5x = 0$, то $\sin 5x = \pm 1$, что не является решением): $6 \tan^2 5x - 8 \tan 5x + 1 = 0$ Пусть $t = \tan 5x$, тогда уравнение принимает вид: $6t^2 - 8t + 1 = 0$ Решим это квадратное уравнение: $D = (-8)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 1 = 64 - 24 = 40$ $t_1 = \frac{8 + \sqrt{40}}{12} = \frac{8 + 2\sqrt{10}}{12} = \frac{4 + \sqrt{10}}{6}$ $t_2 = \frac{8 - \sqrt{40}}{12} = \frac{8 - 2\sqrt{10}}{12} = \frac{4 - \sqrt{10}}{6}$ Теперь найдем x: $5x_1 = \arctan(\frac{4 + \sqrt{10}}{6}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$ $x_1 = \frac{1}{5} \arctan(\frac{4 + \sqrt{10}}{6}) + \frac{\pi k}{5}, k \in \mathbb{Z}$ $5x_2 = \arctan(\frac{4 - \sqrt{10}}{6}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$ $x_2 = \frac{1}{5} \arctan(\frac{4 - \sqrt{10}}{6}) + \frac{\pi k}{5}, k \in \mathbb{Z}$ в) $4 \sin^2 3x + 3 \sin 3x \cos 3x - 7 \cos^2 3x = 0$ Допущение: Нужно решить уравнение относительно x. Разделим обе части уравнения на $\cos^2 3x$ (если $\cos 3x = 0$, то $\sin 3x = \pm 1$, что является решением): $4 \tan^2 3x + 3 \tan 3x - 7 = 0$ Пусть $t = \tan 3x$, тогда уравнение принимает вид: $4t^2 + 3t - 7 = 0$ Решим это квадратное уравнение: $D = 3^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-7) = 9 + 112 = 121$ $t_1 = \frac{-3 + \sqrt{121}}{8} = \frac{-3 + 11}{8} = \frac{8}{8} = 1$ $t_2 = \frac{-3 - \sqrt{121}}{8} = \frac{-3 - 11}{8} = \frac{-14}{8} = -\frac{7}{4}$ Теперь найдем x: $3x_1 = \arctan(1) + \pi k = \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$ $x_1 = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$ $3x_2 = \arctan(-\frac{7}{4}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$ $x_2 = \frac{1}{3} \arctan(-\frac{7}{4}) + \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$ **Ответ:** a) $x_1 = \arctan(1 + \frac{\sqrt{2}}{2}) + \pi k, x_2 = \arctan(1 - \frac{\sqrt{2}}{2}) + \pi k$; б) $x_1 = \frac{1}{5} \arctan(\frac{4 + \sqrt{10}}{6}) + \frac{\pi k}{5}, x_2 = \frac{1}{5} \arctan(\frac{4 - \sqrt{10}}{6}) + \frac{\pi k}{5}$; в) $x_1 = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{3}, x_2 = \frac{1}{3} \arctan(-\frac{7}{4}) + \frac{\pi k}{3}$, где $k \in \mathbb{Z}$