Ты просишь решить систему неравенств \frac{(3+x)(x-2)}{4-x} \ge 0

Привет! Давай решим это неравенство вместе. Оно выглядит вот так: $$\frac{(3+x)(x-2)}{4-x} \ge 0$$ Чтобы решить такое неравенство, нам нужно найти значения $x$, при которых выражение больше или равно нулю. 1. **Найдем нули числителя и знаменателя**: * Числитель равен нулю, когда $(3+x) = 0$ или $(x-2) = 0$. Отсюда находим $x = -3$ и $x = 2$. * Знаменатель равен нулю, когда $4-x = 0$. Отсюда находим $x = 4$. 2. **Отметим эти точки на числовой прямой**. ----(-3)----(2)----(4)---> X 3. **Определим знаки выражения на каждом интервале**. * Возьмем $x < -3$, например $x = -4$. Тогда выражение будет $\frac{(-)(-)}{(+)} > 0$, то есть положительным. * Возьмем $-3 < x < 2$, например $x = 0$. Тогда выражение будет $\frac{(+)(-)}{(+)} < 0$, то есть отрицательным. * Возьмем $2 < x < 4$, например $x = 3$. Тогда выражение будет $\frac{(+)(+)}{(+)} > 0$, то есть положительным. * Возьмем $x > 4$, например $x = 5$. Тогда выражение будет $\frac{(+)(+)}{(-)} < 0$, то есть отрицательным. 4. **Запишем решение**. Нам нужны интервалы, где выражение больше или равно нулю. Это интервалы $x \le -3$ и $2 \le x < 4$. Заметь, что $x$ не может быть равен 4, так как тогда знаменатель обращается в ноль, а делить на ноль нельзя. Объединяем интервалы и получаем ответ. **Ответ: $x \in (-\infty; -3] \cup [2; 4)$**