Реши задачи 5-11 по геометрии.

5. В прямоугольном треугольнике $ABC$ с прямым углом $C$ известны катет $AC = 18$ и тангенс угла $A: tg A = 3$. Нужно найти катет $BC$. Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к прилежащему. Значит, $tg A = \frac{BC}{AC}$. Отсюда $BC = AC \cdot tg A = 18 \cdot 3 = 54$. **Ответ: 54** 6. Пусть катеты прямоугольного треугольника $a = 35$ и $b = 120$. Площадь этого треугольника равна половине произведения катетов: $S = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2} \cdot 35 \cdot 120 = 2100$. Высота $h$, проведённая к гипотенузе $c$, может быть найдена из формулы площади: $S = \frac{1}{2}ch$. Сначала найдём гипотенузу по теореме Пифагора: $c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{35^2 + 120^2} = \sqrt{1225 + 14400} = \sqrt{15625} = 125$. Теперь найдём высоту: $h = \frac{2S}{c} = \frac{2 \cdot 2100}{125} = \frac{4200}{125} = 33,6$. **Ответ: 33,6** 7. Пусть катеты прямоугольного треугольника равны $a = \sqrt{15}$ и $b = 1$. Наименьший угол лежит напротив меньшего катета. Значит, нам нужен синус угла, противолежащего катету $b$. Синус угла — это отношение противолежащего катета к гипотенузе. Сначала найдём гипотенузу $c$ по теореме Пифагора: $c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{(\sqrt{15})^2 + 1^2} = \sqrt{15 + 1} = \sqrt{16} = 4$. Теперь найдём синус нужного угла: $sin(\alpha) = \frac{b}{c} = \frac{1}{4} = 0,25$. **Ответ: 0,25** 8. Площадь прямоугольного треугольника равна $32\sqrt{3}$, и один из острых углов равен $30^\circ$. Пусть $a$ и $b$ — катеты, причём катет $a$ лежит против угла $30^\circ$. Тогда $S = \frac{1}{2}ab$. Мы знаем, что $a = c \cdot sin(30^\circ) = \frac{1}{2}c$, где $c$ — гипотенуза. Также, $b = c \cdot cos(30^\circ) = c \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$. Подставим это в формулу площади: $S = \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{2}c) \cdot (c \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\sqrt{3}}{8}c^2$ Теперь выразим гипотенузу $c$ через площадь $S$: $32\sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{8}c^2$ $c^2 = \frac{32\sqrt{3} \cdot 8}{\sqrt{3}} = 32 \cdot 8 = 256$ $c = \sqrt{256} = 16$ **Ответ: 16** 9. В прямоугольном треугольнике $ABC$ точка $H$ — основание высоты, проведённой из вершины прямого угла $B$ к гипотенузе $AC$. Дано $AH = 6$ и $AC = 24$. Нужно найти $AB$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$. В нём $AH$ — катет, а $AB$ — гипотенуза. Также рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$. В нём $AC$ — гипотенуза. Углы $\angle A$ у этих треугольников совпадают. Значит, треугольники $ABH$ и $ABC$ подобны. Из подобия следует, что $\frac{AH}{AB} = \frac{AB}{AC}$ Отсюда $AB^2 = AH \cdot AC = 6 \cdot 24 = 144$, значит, $AB = \sqrt{144} = 12$. **Ответ: 12** 10. В прямоугольном треугольнике $ABC$ с прямым углом $C$ дано: $AC = 12$ и $tg A = \frac{2\sqrt{10}}{3}$. Надо найти $AB$. Тангенс угла $A$ — это отношение противолежащего катета $BC$ к прилежащему катету $AC$: $tg A = \frac{BC}{AC}$. Значит, $BC = AC \cdot tg A = 12 \cdot \frac{2\sqrt{10}}{3} = 8\sqrt{10}$. Теперь найдём гипотенузу $AB$ по теореме Пифагора: $AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{12^2 + (8\sqrt{10})^2} = \sqrt{144 + 64 \cdot 10} = \sqrt{144 + 640} = \sqrt{784} = 28$. **Ответ: 28** 11. В прямоугольном треугольнике $ABC$ с прямым углом $C$ дано: $sin A = \frac{4}{5}$ и $AC = 9$. Надо найти $AB$. Синус угла $A$ — это отношение противолежащего катета $BC$ к гипотенузе $AB$: $sin A = \frac{BC}{AB}$. Косинус угла $A$ — это отношение прилежащего катета $AC$ к гипотенузе $AB$: $cos A = \frac{AC}{AB}$. Мы знаем, что $sin^2 A + cos^2 A = 1$. Значит, $cos^2 A = 1 - sin^2 A = 1 - (\frac{4}{5})^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}$. Тогда $cos A = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$. Теперь мы знаем, что $cos A = \frac{AC}{AB}$, значит, $AB = \frac{AC}{cos A} = \frac{9}{\frac{3}{5}} = 9 \cdot \frac{5}{3} = 3 \cdot 5 = 15$. **Ответ: 15**