#1 Упростим выражение:
a) Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые:
$$1,6(9a - 3b) - 1,5(4b - 6a) = 14,4a - 4,8b - 6b + 9a = (14,4 + 9)a + (-4,8 - 6)b = 23,4a - 10,8b$$
б) Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые:
$$\frac{15}{16}(5\frac{1}{3}x - \frac{4}{15}) - \frac{7}{23}(3\frac{2}{7}x - 2\frac{4}{21}) = \frac{15}{16}(\frac{16}{3}x - \frac{4}{15}) - \frac{7}{23}(\frac{23}{7}x - \frac{46}{21}) = 5x - \frac{1}{4} - x + \frac{2}{3} = 4x + \frac{-3 + 8}{12} = 4x + \frac{5}{12}$$
#2 Решим уравнение:
а) Раскрываем скобки и решаем уравнение:
$$5 - 2(x - 1) = 4 - x$$
$$5 - 2x + 2 = 4 - x$$
$$7 - 2x = 4 - x$$
$$-2x + x = 4 - 7$$
$$-x = -3$$
$$x = 3$$
б) Раскрываем скобки и решаем уравнение:
$$3,4 + 2y = 7(y - 2,3)$$
$$3,4 + 2y = 7y - 16,1$$
$$2y - 7y = -16,1 - 3,4$$
$$-5y = -19,5$$
$$y = \frac{-19,5}{-5}$$
$$y = 3,9$$
в) Используем пропорцию и решаем уравнение:
$$\frac{0,3}{x + 4} = \frac{0,7}{x - 8}$$
$$0,3(x - 8) = 0,7(x + 4)$$
$$0,3x - 2,4 = 0,7x + 2,8$$
$$0,3x - 0,7x = 2,8 + 2,4$$
$$-0,4x = 5,2$$
$$x = \frac{5,2}{-0,4}$$
$$x = -13$$
г) Используем пропорцию и решаем уравнение:
$$\frac{6}{x + 5} = \frac{4}{3 - x}$$
$$6(3 - x) = 4(x + 5)$$
$$18 - 6x = 4x + 20$$
$$-6x - 4x = 20 - 18$$
$$-10x = 2$$
$$x = \frac{2}{-10}$$
$$x = -0,2$$
#3 Решим задачу с помощью уравнения:
а) Пусть на второй полке $x$ книг, тогда на первой $2x$ книг. После перестановки на первой полке станет $2x - 12$ книг, а на второй $x + 12$ книг. Так как после перестановки количество книг на обеих полках станет одинаковым, составляем уравнение:
$$2x - 12 = x + 12$$
$$2x - x = 12 + 12$$
$$x = 24$$
Тогда на первой полке было $2 * 24 = 48$ книг.
б) Пусть первая сторона треугольника равна $x$ дм, тогда вторая сторона равна $3x$ дм, а третья сторона равна $x + 23$ дм. Периметр треугольника равен 108 дм. Составляем уравнение:
$$x + 3x + x + 23 = 108$$
$$5x + 23 = 108$$
$$5x = 108 - 23$$
$$5x = 85$$
$$x = \frac{85}{5}$$
$$x = 17$$
Тогда первая сторона равна 17 дм, вторая сторона равна $3 * 17 = 51$ дм, а третья сторона равна $17 + 23 = 40$ дм.
#4
а) Построим треугольник $ABC$ с координатами вершин $A(-1; 2)$, $B(9; -3)$ и $C(1; -6)$.
Чтобы найти координаты точки $M$ - середины стороны $AC$, воспользуемся формулой середины отрезка:
$$M = (\frac{x_A + x_C}{2}; \frac{y_A + y_C}{2})$$
$$M = (\frac{-1 + 1}{2}; \frac{2 + (-6)}{2})$$
$$M = (\frac{0}{2}; \frac{-4}{2})$$
$$M = (0; -2)$$
б) Даны координаты трех вершин прямоугольника $ABCD$: $A(-4; -2)$, $C(2; 4)$ и $D(2; -2)$.
Чтобы начертить прямоугольник $ABCD$, нужно определить координаты вершины $B$.
Так как $ABCD$ - прямоугольник, то $AB$ параллельна $CD$ и $BC$ параллельна $AD$.
Найдем координаты вершины $B$:
$B(-4; 4)$.
Площадь прямоугольника равна $S = AD * DC$.
Длина стороны $AD = 2 - (-4) = 6$.
Длина стороны $DC = 4 - (-2) = 6$.
$S = 6 * 6 = 36$ (кв. ед.).
Периметр прямоугольника равен $P = 2 * (AD + DC)$.
$P = 2 * (6 + 6) = 2 * 12 = 24$ (ед.).
