Объясни, при каких значениях x выполняется равенство f'(x) = f (x), если: 1) f (x) = (2x - 1)²

Привет! Сейчас помогу разобраться. Чтобы решить, при каких значениях $x$ выполняется равенство $f'(x) = f(x)$, когда известна функция $f(x)$, нужно сделать вот что: 1. Найти производную $f'(x)$. 2. Приравнять $f'(x)$ к $f(x)$. 3. Решить получившееся уравнение относительно $x$. Решим для каждой функции из задания. 1) $f(x) = (2x - 1)^2$ Сначала найдём производную $f'(x)$. Здесь нужно вспомнить правило дифференцирования сложной функции: если $f(x) = (g(x))^n$, то $f'(x) = n \cdot (g(x))^{n-1} \cdot g'(x)$. В нашем случае $g(x) = 2x - 1$ и $n = 2$. Производная $g'(x) = (2x - 1)' = 2$, тогда $$f'(x) = 2 \cdot (2x - 1) \cdot 2 = 4(2x - 1) = 8x - 4$$ Теперь приравняем $f'(x)$ к $f(x)$: $$8x - 4 = (2x - 1)^2$$ Раскроем скобки и упростим: $$8x - 4 = 4x^2 - 4x + 1$$ Перенесём всё в одну сторону, чтобы решить квадратное уравнение: $$4x^2 - 12x + 5 = 0$$ Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 5 = 144 - 80 = 64$. Корни уравнения: $$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{12 + \sqrt{64}}{2 \cdot 4} = \frac{12 + 8}{8} = \frac{20}{8} = 2.5$$ $$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{12 - \sqrt{64}}{2 \cdot 4} = \frac{12 - 8}{8} = \frac{4}{8} = 0.5$$ 2) $f(x) = (3x + 2)^3$ Аналогично найдём производную $f'(x)$. Используем правило дифференцирования сложной функции: если $f(x) = (g(x))^n$, то $f'(x) = n \cdot (g(x))^{n-1} \cdot g'(x)$. В нашем случае $g(x) = 3x + 2$ и $n = 3$. Производная $g'(x) = (3x + 2)' = 3$, тогда $$f'(x) = 3 \cdot (3x + 2)^2 \cdot 3 = 9(3x + 2)^2$$ Теперь приравняем $f'(x)$ к $f(x)$: $$9(3x + 2)^2 = (3x + 2)^3$$ Разделим обе части на $(3x + 2)^2$, предполагая, что $3x + 2 \neq 0$: $$9 = 3x + 2$$ $$3x = 7$$ $$x = \frac{7}{3}$$ Теперь рассмотрим случай, когда $3x + 2 = 0$. Тогда $x = -\frac{2}{3}$. Подставим это значение в исходное уравнение $9(3x + 2)^2 = (3x + 2)^3$: $$9(3(-\frac{2}{3}) + 2)^2 = (3(-\frac{2}{3}) + 2)^3$$ $$9(0)^2 = (0)^3$$ $$0 = 0$$ Получается, что $x = -\frac{2}{3}$ тоже является решением. **Ответ:** 1) $x_1 = 2.5$, $x_2 = 0.5$ 2) $x = \frac{7}{3}$ и $x = -\frac{2}{3}$