Как проверить, что точки M₁, M₂, M₃, M₄, A, B лежат на единичной полуокружности, и как вычислить значения синуса, косинуса и тангенса для углов AOM₁, AOM₂, AOM₃, AOM₄ и AOB?

Для решения задачи нужно проверить, лежат ли указанные точки на единичной полуокружности, а затем найти значения синуса, косинуса и тангенса для углов $AOM_1$, $AOM_2$, $AOM_3$, $AOM_4$ и $AOB$. 1. **Проверка принадлежности точек единичной полуокружности** Единичная полуокружность — это полуокружность радиуса 1 с центром в начале координат. Уравнение такой полуокружности имеет вид $x^2 + y^2 = 1$ при $y ≥ 0$. Нужно проверить, удовлетворяют ли координаты каждой точки этому уравнению. * $M_1(0; 1)$: $0^2 + 1^2 = 1$, значит, точка лежит на полуокружности. * $M_2(\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2})$: $(\frac{1}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = 1$, значит, точка лежит на полуокружности. * $M_3(\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2})$: $(\frac{\sqrt{2}}{2})^2 + (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = \frac{2}{4} + \frac{2}{4} = 1$, значит, точка лежит на полуокружности. * $M_4(-\frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{1}{2})$: $(-\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + (\frac{1}{2})^2 = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} = 1$, значит, точка лежит на полуокружности. * $A(1; 0)$: $1^2 + 0^2 = 1$, значит, точка лежит на полуокружности. * $B(-1; 0)$: $(-1)^2 + 0^2 = 1$, значит, точка лежит на полуокружности. Все точки лежат на единичной полуокружности. 2. **Вычисление значений синуса, косинуса и тангенса для углов** * Угол $AOM_1$: $M_1(0; 1)$. Это угол $90°$ или $\frac{\pi}{2}$ радиан. * $\sin(AOM_1) = 1$ * $\cos(AOM_1) = 0$ * $\tan(AOM_1)$ не существует (или бесконечность). * Угол $AOM_2$: $M_2(\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2})$. Это угол $60°$ или $\frac{\pi}{3}$ радиан. * $\sin(AOM_2) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ * $\cos(AOM_2) = \frac{1}{2}$ * $\tan(AOM_2) = \sqrt{3}$ * Угол $AOM_3$: $M_3(\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2})$. Это угол $45°$ или $\frac{\pi}{4}$ радиан. * $\sin(AOM_3) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ * $\cos(AOM_3) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ * $\tan(AOM_3) = 1$ * Угол $AOM_4$: $M_4(-\frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{1}{2})$. Это угол $150°$ или $\frac{5\pi}{6}$ радиан. * $\sin(AOM_4) = \frac{1}{2}$ * $\cos(AOM_4) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ * $\tan(AOM_4) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$ * Угол $AOB$: $B(-1; 0)$. Это угол $180°$ или $\pi$ радиан. * $\sin(AOB) = 0$ * $\cos(AOB) = -1$ * $\tan(AOB) = 0$ **Ответ:** Точки $M_1$, $M_2$, $M_3$, $M_4$, $A$, $B$ лежат на единичной полуокружности. Значения синуса, косинуса и тангенса для углов $AOM_1$, $AOM_2$, $AOM_3$, $AOM_4$ и $AOB$ вычислены выше.