Ты просишь упростить тригонометрические выражения: tg(π/2 - α)⋅ctg(2π – α)⋅cos(π/2 - α)⋅tg(2π + α)

Привет! Давай попробуем упростить эти выражения. 1) $tg(\frac{\pi}{2} - \alpha) \cdot ctg(2\pi - \alpha) \cdot cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) \cdot tg(2\pi + \alpha)$ \- $tg(\frac{\pi}{2} - \alpha) = ctg(\alpha)$ (по формуле приведения) \- $ctg(2\pi - \alpha) = -ctg(\alpha)$ (по формуле приведения) \- $cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = sin(\alpha)$ (по формуле приведения) \- $tg(2\pi + \alpha) = tg(\alpha)$ (по формуле приведения) Тогда выражение упрощается до: $$ctg(\alpha) \cdot (-ctg(\alpha)) \cdot sin(\alpha) \cdot tg(\alpha) = -ctg^2(\alpha) \cdot sin(\alpha) \cdot tg(\alpha) $$ Так как $ctg(\alpha) = \frac{cos(\alpha)}{sin(\alpha)}$, а $tg(\alpha) = \frac{sin(\alpha)}{cos(\alpha)}$, то: $$- \frac{cos^2(\alpha)}{sin^2(\alpha)} \cdot sin(\alpha) \cdot \frac{sin(\alpha)}{cos(\alpha)} = -cos(\alpha)$$ 2) $\frac{sin \alpha - sin 3 \alpha}{cos \alpha - cos 3 \alpha}$ Используем формулы разности синусов и косинусов: \- $sin(\alpha) - sin(3\alpha) = 2cos(\frac{\alpha + 3\alpha}{2})sin(\frac{\alpha - 3\alpha}{2}) = 2cos(2\alpha)sin(-\alpha) = -2cos(2\alpha)sin(\alpha)$ \- $cos(\alpha) - cos(3\alpha) = -2sin(\frac{\alpha + 3\alpha}{2})sin(\frac{\alpha - 3\alpha}{2}) = -2sin(2\alpha)sin(-\alpha) = 2sin(2\alpha)sin(\alpha)$ Тогда выражение упрощается до: $$\frac{-2cos(2\alpha)sin(\alpha)}{2sin(2\alpha)sin(\alpha)} = -\frac{cos(2\alpha)}{sin(2\alpha)} = -ctg(2\alpha)$$ 3) $cos(2\pi - \alpha) \cdot (tg(\frac{3\pi}{2} - \alpha))^2 \cdot tg(2\pi + \alpha) \cdot (ctg(\frac{\pi}{2} + \alpha))^2$ Упрощаем каждый член: \- $cos(2\pi - \alpha) = cos(\alpha)$ \- $(tg(\frac{3\pi}{2} - \alpha))^2 = (ctg(\alpha))^2 = ctg^2(\alpha)$ \- $tg(2\pi + \alpha) = tg(\alpha)$ \- $(ctg(\frac{\pi}{2} + \alpha))^2 = (-tg(\alpha))^2 = tg^2(\alpha)$ Тогда выражение упрощается до: $$cos(\alpha) \cdot ctg^2(\alpha) \cdot tg(\alpha) \cdot tg^2(\alpha) = cos(\alpha) \cdot \frac{cos^2(\alpha)}{sin^2(\alpha)} \cdot \frac{sin(\alpha)}{cos(\alpha)} \cdot \frac{sin^2(\alpha)}{cos^2(\alpha)} = cos(\alpha) \cdot \frac{sin(\alpha)}{cos(\alpha)} = sin(\alpha)$$ 4) $\frac{sin^2 \alpha - tg^2 \alpha}{cos^2 \alpha - ctg^2 \alpha}$ Преобразуем тангенс и котангенс: $$\frac{sin^2(\alpha) - \frac{sin^2(\alpha)}{cos^2(\alpha)}}{cos^2(\alpha) - \frac{cos^2(\alpha)}{sin^2(\alpha)}} = \frac{sin^2(\alpha)(1 - \frac{1}{cos^2(\alpha)})}{cos^2(\alpha)(1 - \frac{1}{sin^2(\alpha)})} = \frac{sin^2(\alpha)(1 - sec^2(\alpha))}{cos^2(\alpha)(1 - csc^2(\alpha))}$$ Используем, что $1 - sec^2(\alpha) = -tg^2(\alpha)$ и $1 - csc^2(\alpha) = -ctg^2(\alpha)$: $$\frac{sin^2(\alpha) \cdot (-tg^2(\alpha))}{cos^2(\alpha) \cdot (-ctg^2(\alpha))} = \frac{sin^2(\alpha) \cdot tg^2(\alpha)}{cos^2(\alpha) \cdot ctg^2(\alpha)} = \frac{sin^2(\alpha) \cdot \frac{sin^2(\alpha)}{cos^2(\alpha)}}{cos^2(\alpha) \cdot \frac{cos^2(\alpha)}{sin^2(\alpha)}} = \frac{sin^4(\alpha)}{cos^4(\alpha)} \cdot \frac{sin^2(\alpha)}{cos^2(\alpha)} = \frac{sin^6(\alpha)}{cos^6(\alpha)} = tg^6(\alpha)$$ *Перевод:* 1) $-cos(\alpha)$ 2) $-ctg(2\alpha)$ 3) $sin(\alpha)$ 4) $tg^6(\alpha)$