Сейчас помогу! Давай разберёмся с каждым заданием по порядку.
**55.** Нужно представить корни в виде степеней. Помни, что корень можно записать как дробную степень. Например, $\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$.
1) $\sqrt{x^3} = (x^3)^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{3}{2}}$
2) $\sqrt[3]{a^4} = (a^4)^{\frac{1}{3}} = a^{\frac{4}{3}}$
3) $\sqrt[4]{b^3} = (b^3)^{\frac{1}{4}} = b^{\frac{3}{4}}$
4) $\sqrt[5]{x^{-1}} = (x^{-1})^{\frac{1}{5}} = x^{-\frac{1}{5}}$
5) $\sqrt[6]{a} = a^{\frac{1}{6}}$
6) $\sqrt[7]{b^{-3}} = (b^{-3})^{\frac{1}{7}} = b^{-\frac{3}{7}}$
**56.** Теперь наоборот, нужно представить степени в виде корней. Используем ту же логику, только в обратную сторону. Например, $x^{\frac{1}{2}} = \sqrt{x}$.
1) $x^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{x}$
2) $y^{\frac{2}{5}} = \sqrt[5]{y^2}$
3) $a^{\frac{5}{6}} = \sqrt[6]{a^5}$
4) $b^{-\frac{1}{3}} = \frac{1}{\sqrt[3]{b}}$
5) $(2x)^{\frac{1}{2}} = \sqrt{2x}$
6) $(3b)^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{\sqrt[3]{(3b)^2}} = \frac{1}{\sqrt[3]{9b^2}}$
**57.** Здесь нужно вычислить значения выражений. Помни, что отрицательная степень - это обратное число, а дробная степень - это корень.
1) $64^{\frac{1}{2}} = \sqrt{64} = 8$
2) $27^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{27} = 3$
3) $8^{\frac{2}{3}} = (\sqrt[3]{8})^2 = 2^2 = 4$
4) $81^{\frac{3}{4}} = (\sqrt[4]{81})^3 = 3^3 = 27$
5) $16^{-0,75} = 16^{-\frac{3}{4}} = \frac{1}{16^{\frac{3}{4}}} = \frac{1}{(\sqrt[4]{16})^3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$
6) $9^{-1,5} = 9^{-\frac{3}{2}} = \frac{1}{9^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{(\sqrt{9})^3} = \frac{1}{3^3} = \frac{1}{27}$
**58.** При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются, при делении - вычитаются.
1) $2^5 \cdot 2^{\frac{4}{5}} = 2^{5 + \frac{4}{5}} = 2^{\frac{29}{5}}$
2) $5^{\frac{7}{2}} \cdot 5^{\frac{5}{7}} = 5^{\frac{7}{2} + \frac{5}{7}} = 5^{\frac{49 + 10}{14}} = 5^{\frac{59}{14}}$
3) $9^{\frac{3}{5}} : 9^{\frac{6}{5}} = 9^{\frac{3}{5} - \frac{6}{5}} = 9^{-\frac{3}{5}} = \frac{1}{9^{\frac{3}{5}}}$
4) $4^{\frac{1}{3}} : 4^{\frac{5}{6}} = 4^{\frac{1}{3} - \frac{5}{6}} = 4^{\frac{2 - 5}{6}} = 4^{-\frac{3}{6}} = 4^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{4}} = \frac{1}{2}$
5) $(8^{\frac{1}{12}})^{-4} = 8^{\frac{1}{12} \cdot (-4)} = 8^{-\frac{4}{12}} = 8^{-\frac{1}{3}} = \frac{1}{\sqrt[3]{8}} = \frac{1}{2}$
**59.** Снова работаем со степенями и умножением/делением.
1) $9^{\frac{2}{5}} \cdot 27^{\frac{2}{5}} = (3^2)^{\frac{2}{5}} \cdot (3^3)^{\frac{2}{5}} = 3^{\frac{4}{5}} \cdot 3^{\frac{6}{5}} = 3^{\frac{10}{5}} = 3^2 = 9$
2) $7^{\frac{2}{3}} \cdot 49^{\frac{3}{2}} = 7^{\frac{2}{3}} \cdot (7^2)^{\frac{3}{2}} = 7^{\frac{2}{3}} \cdot 7^3 = 7^{\frac{2}{3} + 3} = 7^{\frac{11}{3}}$
3) $144^{\frac{3}{4}} : 9^{\frac{3}{4}} = (12^2)^{\frac{3}{4}} : (3^2)^{\frac{3}{4}} = 12^{\frac{3}{2}} : 3^{\frac{3}{2}} = (12:3)^{\frac{3}{2}} = 4^{\frac{3}{2}} = (2^2)^{\frac{3}{2}} = 2^3 = 8$
4) $150^{\frac{3}{2}} : 6^{\frac{3}{2}} = (25 \cdot 6)^{\frac{3}{2}} : 6^{\frac{3}{2}} = 25^{\frac{3}{2}} \cdot 6^{\frac{3}{2}} : 6^{\frac{3}{2}} = 25^{\frac{3}{2}} = (5^2)^{\frac{3}{2}} = 5^3 = 125$
**60.** Вычисляем выражения с дробями и степенями.
1) $(\frac{1}{16})^{-0,75} + (\frac{1}{8})^{-\frac{4}{3}} = (\frac{1}{16})^{-\frac{3}{4}} + (\frac{1}{8})^{-\frac{4}{3}} = 16^{\frac{3}{4}} + 8^{\frac{4}{3}} = (\sqrt[4]{16})^3 + (\sqrt[3]{8})^4 = 2^3 + 2^4 = 8 + 16 = 24$
2) $(0,04)^{-1,5} - (0,125)^{-\frac{2}{3}} = (\frac{4}{100})^{-\frac{3}{2}} - (\frac{125}{1000})^{-\frac{2}{3}} = (\frac{1}{25})^{-\frac{3}{2}} - (\frac{1}{8})^{-\frac{2}{3}} = 25^{\frac{3}{2}} - 8^{\frac{2}{3}} = (\sqrt{25})^3 - (\sqrt[3]{8})^2 = 5^3 - 2^2 = 125 - 4 = 121$
3) $\frac{8^7}{8^7} - 3^5 \cdot 3^{-5} = 1 - 3^{5-5} = 1 - 3^0 = 1 - 1 = 0$
4) $(5^{-\frac{2}{5}})^{-5} + (0,2)^{-\frac{3}{4}} = 5^{(-\frac{2}{5}) \cdot (-5)} + (\frac{1}{5})^{-\frac{3}{4}} = 5^2 + 5^{\frac{3}{4}} = 25 + \sqrt[4]{5^3} = 25 + \sqrt[4]{125}$
**61.** Находим значения выражений, подставляя значения переменных.
1) $\sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[6]{a} = \sqrt[3]{0,09} \cdot \sqrt[6]{0,09}$. Тут сложно посчитать точно без калькулятора.
2) $\sqrt{b} : \sqrt[6]{b} = \sqrt{27} : \sqrt[6]{27} = (27)^{\frac{1}{2}} : (27)^{\frac{1}{6}} = 27^{\frac{1}{2} - \frac{1}{6}} = 27^{\frac{3-1}{6}} = 27^{\frac{2}{6}} = 27^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{27} = 3$
3) $\frac{\sqrt[3]{b}}{\sqrt[6]{b^2}} = \frac{\sqrt[3]{1,3}}{\sqrt[6]{(1,3)^2}} = \frac{(1,3)^{\frac{1}{3}}}{(1,3)^{\frac{2}{6}}} = \frac{(1,3)^{\frac{1}{3}}}{(1,3)^{\frac{1}{3}}} = 1$
4) $\sqrt[3]{a} \cdot \sqrt{a} \cdot \sqrt[12]{a^5} = \sqrt[3]{2,7} \cdot \sqrt{2,7} \cdot \sqrt[12]{(2,7)^5}$. Опять же, без калькулятора сложно.
**62.** Представляем в виде степени с рациональным показателем.
1) $a^{\frac{1}{3}} \cdot \sqrt{a} = a^{\frac{1}{3}} \cdot a^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{1}{3} + \frac{1}{2}} = a^{\frac{2+3}{6}} = a^{\frac{5}{6}}$
2) $b^2 \cdot b^{\frac{1}{3}} \cdot \sqrt[6]{b} = b^2 \cdot b^{\frac{1}{3}} \cdot b^{\frac{1}{6}} = b^{2 + \frac{1}{3} + \frac{1}{6}} = b^{\frac{12+2+1}{6}} = b^{\frac{15}{6}} = b^{\frac{5}{2}}$
3) $\sqrt[3]{b} : b^{\frac{1}{6}} = b^{\frac{1}{3}} : b^{\frac{1}{6}} = b^{\frac{1}{3} - \frac{1}{6}} = b^{\frac{2-1}{6}} = b^{\frac{1}{6}}$
4) $a^{\frac{4}{3}} : \sqrt{a} = a^{\frac{4}{3}} : a^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{4}{3} - \frac{1}{2}} = a^{\frac{8-3}{6}} = a^{\frac{5}{6}}$
5) $x^{1,7} \cdot x^{2,8} : \sqrt{x^5} = x^{1,7} \cdot x^{2,8} : x^{\frac{5}{2}} = x^{1,7 + 2,8 - 2,5} = x^{4,5 - 2,5} = x^2$
6) $y^{-3,8} : y^{-2,3} \cdot \sqrt[3]{y} = y^{-3,8 - (-2,3)} \cdot y^{\frac{1}{3}} = y^{-3,8 + 2,3 + \frac{1}{3}} = y^{-1,5 + \frac{1}{3}} = y^{-\frac{3}{2} + \frac{1}{3}} = y^{\frac{-9+2}{6}} = y^{-\frac{7}{6}}$
**63.** Выносим общий множитель за скобки.
1) $x^{\frac{1}{2}} + x = x^{\frac{1}{2}}(1 + x^{\frac{1}{2}})$
2) $(ab)^{\frac{1}{3}} + (ac)^{\frac{1}{3}} = a^{\frac{1}{3}}(b^{\frac{1}{3}} + c^{\frac{1}{3}})$
3) $y^4 - y^{\frac{1}{3}} = y^{\frac{1}{3}}(y^{\frac{11}{3}} - 1)$
4) $12xy^2 - 3x^2y = 3xy(4y - x)$
