Реши уравнение x⁴ = (2x-8)²

20. Давай решим уравнение $x^4 = (2x - 8)^2$. Это выглядит сложно, но мы справимся! Сначала извлечём квадратный корень из обеих частей уравнения: $$\sqrt{x^4} = \sqrt{(2x - 8)^2}$$ Это даст нам: $$x^2 = |2x - 8|$$ Теперь рассмотрим два случая: 1) Если $2x - 8 \ge 0$, то есть $x \ge 4$, тогда: $$x^2 = 2x - 8$$ $$x^2 - 2x + 8 = 0$$ Найдём дискриминант: $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 4 - 32 = -28$. Так как дискриминант отрицательный, в этом случае нет решений. 2) Если $2x - 8 < 0$, то есть $x < 4$, тогда: $$x^2 = -(2x - 8)$$ $$x^2 = -2x + 8$$ $$x^2 + 2x - 8 = 0$$ Решим это квадратное уравнение. Можно разложить на множители: $(x + 4)(x - 2) = 0$. Значит, $x = -4$ или $x = 2$. Оба корня удовлетворяют условию $x < 4$. **Ответ: x = -4, x = 2** 21. Давай найдём длину поезда. Самое главное тут — перевести всё в одни единицы измерения, например, в метры и секунды. Скорость поезда: $75 \frac{км}{ч} = 75 \cdot \frac{1000 м}{3600 с} = \frac{75000}{3600} \frac{м}{с} = \frac{750}{36} \frac{м}{с} = \frac{125}{6} \frac{м}{с}$. Скорость пешехода: $3 \frac{км}{ч} = 3 \cdot \frac{1000 м}{3600 с} = \frac{3000}{3600} \frac{м}{с} = \frac{30}{36} \frac{м}{с} = \frac{5}{6} \frac{м}{с}$. Так как они двигаются навстречу друг другу, их скорости складываются: $$V_{общая} = V_{поезда} + V_{пешехода} = \frac{125}{6} + \frac{5}{6} = \frac{130}{6} \frac{м}{с} = \frac{65}{3} \frac{м}{с}$$ Теперь, зная общую скорость и время (30 секунд), можно найти длину поезда: $$Длина = Скорость \cdot Время = \frac{65}{3} \cdot 30 = 65 \cdot 10 = 650 м$$ **Ответ: Длина поезда 650 метров.** 22. Сейчас построим график функции $y = \frac{4x - 5}{4x^2 - 5x}$ и определим, при каких значениях $k$ прямая $y = kx$ имеет с графиком ровно одну общую точку. Сначала упростим функцию: $$y = \frac{4x - 5}{x(4x - 5)}$$ Если $4x - 5 \neq 0$, то есть $x \neq \frac{5}{4}$, то можно сократить: $$y = \frac{1}{x}$$ Но важно помнить, что $x = \frac{5}{4}$ — это точка разрыва, где функция не определена. Получается, что график функции $y = \frac{4x - 5}{4x^2 - 5x}$ совпадает с графиком $y = \frac{1}{x}$, за исключением точки $x = \frac{5}{4}$. Теперь рассмотрим прямую $y = kx$. Нам нужно найти такие $k$, чтобы эта прямая имела с графиком $y = \frac{1}{x}$ только одну общую точку. Это значит, что уравнение $kx = \frac{1}{x}$ должно иметь только одно решение. $$kx^2 = 1$$ $$x^2 = \frac{1}{k}$$ $$x = \pm \sqrt{\frac{1}{k}}$$ Если $k > 0$, то у нас два решения. Но нам нужна только одна общая точка. Это произойдёт, если одно из решений совпадает с точкой разрыва $x = \frac{5}{4}$. Проверим: $$\frac{5}{4} = \sqrt{\frac{1}{k}}$$ $$\frac{25}{16} = \frac{1}{k}$$ $$k = \frac{16}{25}$$ Если $k < 0$, то решений нет, и общих точек тоже нет. Если $k = 0$, то прямая $y = 0$ (ось x) также не имеет общих точек с графиком $y = \frac{1}{x}$. **Ответ: k = 16/25**