Можешь доказать, что при любом значении переменной верно неравенство (p - 3) (p + 4) <p(p + 1)?

Конечно, доказать неравенства - это как решить головоломку! Давай посмотрим на каждое из них по порядку: 1) $(p - 3)(p + 4) < p(p + 1)$; Раскроем скобки: $p^2 + 4p - 3p - 12 < p^2 + p$. Упростим: $p^2 + p - 12 < p^2 + p$. Видим, что $p^2 + p$ есть с обеих сторон, поэтому можно сократить: $-12 < 0$. Это всегда правда, значит, неравенство верно при любом $p$. 2) $(x + 1)^2 > x(x + 2)$; Раскрываем скобки: $x^2 + 2x + 1 > x^2 + 2x$. Опять видим одинаковые части $x^2 + 2x$ с обеих сторон. Сокращаем: $1 > 0$. Это тоже всегда верно, значит, неравенство верно при любом $x$. 3) $(a - 5)(a + 2) > (a + 5)(a – 8)$; Раскрываем скобки: $a^2 + 2a - 5a - 10 > a^2 - 8a + 5a - 40$. Упрощаем: $a^2 - 3a - 10 > a^2 - 3a - 40$. Сокращаем одинаковые части $a^2 - 3a$: $-10 > -40$. Это всегда верно, значит, неравенство верно при любом $a$. 4) $y(y + 8) < (y + 4)^2$; Раскрываем скобки: $y^2 + 8y < y^2 + 8y + 16$. Сокращаем $y^2 + 8y$: $0 < 16$. Это всегда верно, значит, неравенство верно при любом $y$. 5) $(2a - 5)^2 \le 6a^2 - 20a + 25$; Раскрываем скобки: $4a^2 - 20a + 25 \le 6a^2 - 20a + 25$. Переносим всё вправо: $0 \le 2a^2$. Это верно, потому что $a^2$ всегда больше или равно нулю, и умножение на 2 не меняет знак. Значит, неравенство верно при любом $a$. 6) $a^2 + 4 \ge 4a$. Перенесём всё влево: $a^2 - 4a + 4 \ge 0$. Заметим, что это полный квадрат: $(a - 2)^2 \ge 0$. Квадрат любого числа всегда больше или равен нулю. Значит, неравенство верно при любом $a$. В каждом случае мы показали, что неравенство выполняется при любом значении переменной! Круто, правда?