Докажи, что при a ≥ 0 и b ≥ 0 верно неравенство (a+b)/2 ≤ √(a²+b²)/2

Привет! Давай докажем это неравенство. Чтобы доказать неравенство $\frac{a+b}{2} \le \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$, когда $a \ge 0$ и $b \ge 0$, мы можем использовать несколько шагов: 1. **Возведение в квадрат обеих частей:** Сначала возведём обе части неравенства в квадрат, чтобы избавиться от квадратного корня. Это даст нам: $$(\frac{a+b}{2})^2 \le (\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}})^2$$ $$\frac{(a+b)^2}{4} \le \frac{a^2+b^2}{2}$$ 2. **Упрощение:** Теперь упростим выражение. Раскроем квадрат суммы в левой части: $$\frac{a^2 + 2ab + b^2}{4} \le \frac{a^2+b^2}{2}$$ Умножим обе части неравенства на 4, чтобы избавиться от дроби: $$a^2 + 2ab + b^2 \le 2(a^2+b^2)$$ $$a^2 + 2ab + b^2 \le 2a^2 + 2b^2$$ 3. **Перегруппировка:** Перенесём все члены в правую часть неравенства: $$0 \le 2a^2 + 2b^2 - a^2 - 2ab - b^2$$ $$0 \le a^2 - 2ab + b^2$$ 4. **Замечаем полный квадрат:** Выражение $a^2 - 2ab + b^2$ является полным квадратом и может быть записано как: $$0 \le (a-b)^2$$ 5. **Анализ:** Квадрат любого числа всегда больше или равен нулю. То есть, $(a-b)^2 \ge 0$ всегда верно, независимо от значений $a$ и $b$. Таким образом, мы доказали, что исходное неравенство $\frac{a+b}{2} \le \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$ верно для всех $a \ge 0$ и $b \ge 0$. **Ответ:** Неравенство доказано.