Вычисли площадь трапеции, параллельные стороны которой равны 16 см и 44 см, а непараллельные равны 17 см и 25 см. Найди радиус, если сторона ромба равна 10 см, а его диагонали относятся как 3:4

Давай решим эти задачки по геометрии! **Задача 8: Площадь трапеции** Чтобы найти площадь трапеции, нам нужно узнать её высоту. Для этого можно сделать вот что: 1. **Проведём высоты.** Опустим перпендикуляры из вершин меньшего основания на большее. Получим два прямоугольных треугольника и прямоугольник. 2. **Найдём отрезки на большем основании.** Пусть большее основание равно $b = 44$ см, меньшее $a = 16$ см. Тогда сумма длин отрезков, которые отсекаются высотами на большем основании, равна $b - a = 44 - 16 = 28$ см. Пусть один из этих отрезков равен $x$, тогда другой будет $28 - x$. 3. **Применим теорему Пифагора.** У нас есть два прямоугольных треугольника. Пусть высоты трапеции равна $h$. Тогда: * Для первого треугольника: $h^2 + x^2 = 17^2$ * Для второго треугольника: $h^2 + (28 - x)^2 = 25^2$ 4. **Решим систему уравнений:** $$h^2 + x^2 = 289$$ $$h^2 + (28 - x)^2 = 625$$ Вычтем из второго уравнения первое: $$(28 - x)^2 - x^2 = 336$$ $$784 - 56x + x^2 - x^2 = 336$$ $$56x = 448$$ $$x = 8$$ Теперь найдём $h$: $$h^2 + 8^2 = 289$$ $$h^2 = 289 - 64 = 225$$ $$h = 15$$ 5. **Вычислим площадь трапеции:** Площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту: $$S = \frac{a + b}{2} \cdot h = \frac{16 + 44}{2} \cdot 15 = 30 \cdot 15 = 450$$ **Ответ: Площадь трапеции равна 450 кв. см.** **Задача 9: Радиус в ромбе** 1. **Диагонали ромба.** Пусть диагонали ромба равны $3x$ и $4x$. Так как диагонали ромба перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам, то половинки диагоналей будут $1.5x$ и $2x$. 2. **Теорема Пифагора.** Сторона ромба равна 10 см. По теореме Пифагора: $$(1.5x)^2 + (2x)^2 = 10^2$$ $$2.25x^2 + 4x^2 = 100$$ $$6.25x^2 = 100$$ $$x^2 = 16$$ $$x = 4$$ Значит, диагонали ромба равны $3x = 12$ см и $4x = 16$ см. 3. **Площадь ромба.** Площадь ромба можно найти как половину произведения его диагоналей: $$S = \frac{1}{2} d_1 d_2 = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 16 = 96$$ кв. см. 4. **Радиус вписанной окружности.** Радиус вписанной окружности можно найти через площадь и полупериметр. Полупериметр ромба равен $p = \frac{4 \cdot 10}{2} = 20$ см. Тогда радиус равен: $$r = \frac{S}{p} = \frac{96}{20} = 4.8$$ **Ответ: Радиус вписанной окружности равен 4.8 см.**