Ты просишь найти промежутки возрастания и убывания, точки экстремума функции.

Конечно, давай разберёмся с этими заданиями! Помогу тебе найти промежутки возрастания/убывания функций и точки экстремума. 1. а) $y = 5 + \frac{2}{x}$ Чтобы найти промежутки возрастания и убывания, нужно найти производную функции и посмотреть, где она положительна (функция возрастает) и где отрицательна (функция убывает). Производная: $y' = -\frac{2}{x^2}$. Эта производная всегда отрицательна (кроме точки $x = 0$, где функция не определена). Значит, функция убывает на $(-\infty; 0)$ и на $(0; +\infty)$. Функция нигде не возрастает. б) $y = 1 - 3x - 5x^2$ Производная: $y' = -3 - 10x$ Найдём, где производная равна нулю: $-3 - 10x = 0$. Получаем $x = -0.3$. Теперь посмотрим на знаки производной: при $x < -0.3$, $y' > 0$ (функция возрастает), а при $x > -0.3$, $y' < 0$ (функция убывает). Возрастает на $(-\infty; -0.3]$, убывает на $[-0.3; +\infty)$. в) $y = x^3 - 8x^2 + 360$ Производная: $y' = 3x^2 - 16x$ Найдём, где производная равна нулю: $3x^2 - 16x = 0$. Тогда $x(3x - 16) = 0$, значит $x = 0$ или $x = \frac{16}{3}$. Проверяем знаки производной: при $x < 0$, $y' > 0$ (возрастает), при $0 < x < \frac{16}{3}$, $y' < 0$ (убывает), при $x > \frac{16}{3}$, $y' > 0$ (возрастает). Возрастает на $(-\infty; 0]$ и $[\[\frac{16}{3}; +\infty)$, убывает на $[0; \frac{16}{3}]$. г) $y = \frac{x}{x^2 + 4}$ Производная: $y' = \frac{(x^2 + 4) - x(2x)}{(x^2 + 4)^2} = \frac{4 - x^2}{(x^2 + 4)^2}$ Найдём, где производная равна нулю: $4 - x^2 = 0$. Получаем $x = -2$ или $x = 2$. Смотрим на знаки: при $x < -2$, $y' < 0$ (убывает), при $-2 < x < 2$, $y' > 0$ (возрастает), при $x > 2$, $y' < 0$ (убывает). Убывает на $(-\infty; -2]$ и $[2; +\infty)$, возрастает на $[-2; 2]$. 2. а) $y = 2x^3 + 3x^2 - 12x + 5$ Чтобы найти точки экстремума, сначала найдём производную и приравняем её к нулю: $y' = 6x^2 + 6x - 12$ $6x^2 + 6x - 12 = 0$ $x^2 + x - 2 = 0$ $(x + 2)(x - 1) = 0$ $x = -2$ или $x = 1$ Теперь нужно проверить знаки производной вокруг этих точек. Если производная меняет знак с + на -, то это максимум, а если с - на +, то минимум. $x = -2$: при $x < -2$, $y' > 0$, а при $x > -2$, $y' < 0$. Значит, это максимум. $x = 1$: при $x < 1$, $y' < 0$, а при $x > 1$, $y' > 0$. Значит, это минимум. Точки экстремума: $x = -2$ (максимум) и $x = 1$ (минимум). б) $y = x + \frac{1}{x}$ Производная: $y' = 1 - \frac{1}{x^2}$ Приравниваем к нулю: $1 - \frac{1}{x^2} = 0$. Тогда $x^2 = 1$, то есть $x = -1$ или $x = 1$. Проверяем знаки производной: $x = -1$: при $x < -1$, $y' > 0$, а при $x > -1$, $y' < 0$. Это максимум. $x = 1$: при $x < 1$, $y' < 0$, а при $x > 1$, $y' > 0$. Это минимум. Точки экстремума: $x = -1$ (максимум) и $x = 1$ (минимум). Надеюсь, теперь тебе стало понятнее, как решать такие задачи! Если что, спрашивай ещё!