Объясни решение задач 759, 761 и 762 из учебника геометрии

759. Давай разбираться с четырёхугольником $MNPQ$. a) Нужно доказать, что $\vec{MN} + \vec{NQ} = \vec{MP} + \vec{PQ}$. Смотри, у нас есть правило сложения векторов: если мы складываем векторы $\vec{MN}$ и $\vec{NQ}$, то получается вектор $\vec{MQ}$. То есть, $\vec{MN} + \vec{NQ} = \vec{MQ}$. Аналогично, $\vec{MP} + \vec{PQ} = \vec{MQ}$. Раз оба выражения равны $\vec{MQ}$, то они равны и между собой: $\vec{MN} + \vec{NQ} = \vec{MP} + \vec{PQ}$. Что и требовалось доказать! б) Теперь докажем, что $\vec{MN} + \vec{NP} = \vec{MQ} + \vec{QP}$. Тут тоже используем правило сложения векторов. $\vec{MN} + \vec{NP} = \vec{MP}$. А $\vec{MQ} + \vec{QP} = \vec{MP}$. Значит, $\vec{MN} + \vec{NP} = \vec{MQ} + \vec{QP}$. И это тоже доказано! 761. Нужно доказать, что если для точек $A$, $B$, $C$ и $D$ выполняется $\vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CD} + \vec{DA} = 0$, то они произвольные. Смотри, когда мы складываем векторы по цепочке, например, $\vec{AB} + \vec{BC}$, то получается вектор $\vec{AC}$. Если продолжить, то $\vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CD} = \vec{AD}$. Теперь добавим $\vec{DA}$: $\vec{AD} + \vec{DA} = 0$, потому что это векторы в разные стороны, но одинаковой длины. Значит, точки $A$, $B$, $C$ и $D$ могут быть любыми. 762. Тут у нас равносторонний треугольник $ABC$ со стороной $a$. а) Найдём $|\vec{AB} + \vec{BC}|$. Представим, что мы идём из точки $A$ в точку $B$, а потом из $B$ в $C$. Вектор $\vec{AB} + \vec{BC}$ — это как если бы мы сразу пошли из $A$ в $C$, то есть это вектор $\vec{AC}$. Длина вектора $\vec{AC}$ равна стороне треугольника, то есть $a$. Значит, $|\vec{AB} + \vec{BC}| = a$. б) Теперь найдём $|\vec{AB} + \vec{AC}|$. Тут нужно сложить векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$. Это можно сделать по правилу параллелограмма. Если построить параллелограмм на этих векторах, то суммой будет диагональ параллелограмма, выходящая из точки $A$. Так как треугольник равносторонний, то углы в нём по 60 градусов. Диагональ параллелограмма будет делить угол пополам, то есть угол между диагональю и стороной $AB$ будет 30 градусов. Длина этой диагонали (назовём её $AD$) будет равна $a \sqrt{3}$. Значит, $|\vec{AB} + \vec{AC}| = a \sqrt{3}$. в) Найдём $|\vec{AB} + \vec{CB}|$. Вектор $\vec{CB}$ направлен в другую сторону по сравнению с $\vec{BC}$. Поэтому $\vec{AB} + \vec{CB} = \vec{AB} - \vec{BC}$. Чтобы найти длину этого вектора, можно воспользоваться правилом параллелограмма или теоремой косинусов. Угол между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$ равен 120 градусам (так как угол $ABC$ равен 60 градусам). Тогда $|\vec{AB} - \vec{BC}|^2 = |\vec{AB}|^2 + |\vec{BC}|^2 - 2 \cdot |\vec{AB}| \cdot |\vec{BC}| \cdot \cos(120^\circ) = a^2 + a^2 - 2 \cdot a \cdot a \cdot (-0.5) = 3a^2$. Значит, $|\vec{AB} + \vec{CB}| = a \sqrt{3}$. г) Найдём $|\vec{BA} - \vec{BC}|$. Вектор $\vec{BA}$ направлен в другую сторону по сравнению с $\vec{AB}$. Поэтому $\vec{BA} - \vec{BC} = -\vec{AB} - \vec{BC} = -(\vec{AB} + \vec{BC})$. Мы уже нашли, что $|\vec{AB} + \vec{BC}| = a$. Значит, $|\vec{BA} - \vec{BC}| = |-a| = a$. д) Найдём $|\vec{AB} - \vec{AC}|$. Тут нужно вычесть векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$. Это можно сделать, изменив направление вектора $\vec{AC}$ и сложив с вектором $\vec{AB}$. Получится вектор, направленный из точки $A$ в сторону, противоположную точке $C$. Длина этого вектора будет равна $a \sqrt{3}$. Значит, $|\vec{AB} - \vec{AC}| = a \sqrt{3}$.