Реши задачи 3-10 из учебника геометрии: найди сумму углов выпуклого пятиугольника, количество диагоналей выпуклого пятиугольника, сколько сторон имеет выпуклый многоугольник, если каждый угол равен 90, 60, 120 и 108 градусов, найди стороны четырехугольника, если его периметр равен 8 см, а одна сторона больше каждой из других сторон соответственно на 3 мм, 4 мм и 5 мм, найди стороны четырехугольника, если его периметр равен 66 см, первая сторона больше второй на 8 см и на столько же меньше третьей стороны, а четвёртая - в 3 раза больше второй, найди углы выпуклого четырехугольника, если они равны друг другу, найди углы А, В и С выпуклого четырехугольника ABCD, если ∠A = ∠B = ∠C, а ∠D = 135°, найди углы выпуклого четырехугольника, если они пропорциональны числам 1, 2, 4, 5.

Конечно, давай разберёмся с этими задачками по геометрии! 3. Чтобы найти сумму углов выпуклого многоугольника, можно использовать формулу: $$(n - 2) \cdot 180^\circ$$, где $n$ — количество углов (или сторон) многоугольника. a) Для пятиугольника ($n = 5$): $$(5 - 2) \cdot 180^\circ = 3 \cdot 180^\circ = 540^\circ$$ б) Для шестиугольника ($n = 6$): $$(6 - 2) \cdot 180^\circ = 4 \cdot 180^\circ = 720^\circ$$ в) Для десятиугольника ($n = 10$): $$(10 - 2) \cdot 180^\circ = 8 \cdot 180^\circ = 1440^\circ$$ *Ответ:* a) **540°** б) **720°** в) **1440°** 4. Количество диагоналей выпуклого $n$-угольника можно найти по формуле: $$\frac{n(n - 3)}{2}$$. a) Для пятиугольника ($n = 5$): $$\frac{5(5 - 3)}{2} = \frac{5 \cdot 2}{2} = 5$$ б) Для двенадцатиугольника ($n = 12$): $$\frac{12(12 - 3)}{2} = \frac{12 \cdot 9}{2} = 54$$ в) Для двадцатипятиугольника ($n = 25$): $$\frac{25(25 - 3)}{2} = \frac{25 \cdot 22}{2} = 275$$ *Ответ:* a) **5** б) **54** в) **275** 5. Если известен угол выпуклого многоугольника, можно найти количество его сторон, зная, что сумма внешних углов любого выпуклого многоугольника равна $360^\circ$. Внешний угол — это $180^\circ$ минус внутренний угол. a) Внутренний угол $90^\circ$, внешний угол $180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$. Количество сторон: $$\frac{360^\circ}{90^\circ} = 4$$. Это квадрат. б) Внутренний угол $60^\circ$, внешний угол $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$. Количество сторон: $$\frac{360^\circ}{120^\circ} = 3$$. Это треугольник. в) Внутренний угол $120^\circ$, внешний угол $180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$. Количество сторон: $$\frac{360^\circ}{60^\circ} = 6$$. Это шестиугольник. г) Внутренний угол $108^\circ$, внешний угол $180^\circ - 108^\circ = 72^\circ$. Количество сторон: $$\frac{360^\circ}{72^\circ} = 5$$. Это пятиугольник. *Ответ:* a) **4** б) **3** в) **6** г) **5** 6. **Допущение:** под фразой «одна сторона больше каждой из других сторон соответственно на 3 мм, 4 мм и 5 мм» подразумевается, что первая сторона больше второй на 3 мм, первой — третьей на 4 мм, первой — четвёртой на 5 мм. Переведём всё в миллиметры: 8 см = 80 мм. Пусть первая сторона = $x$, тогда вторая = $x - 3$, третья = $x - 4$, четвёртая = $x - 5$. Периметр равен сумме всех сторон: $$x + (x - 3) + (x - 4) + (x - 5) = 80$$. $$4x - 12 = 80$$ $$4x = 92$$ $$x = 23$$ Получаем: первая сторона 23 мм, вторая 20 мм, третья 19 мм, четвёртая 18 мм. *Ответ:* **23 мм, 20 мм, 19 мм, 18 мм** 7. Пусть вторая сторона равна $x$, тогда первая сторона равна $x + 8$, третья сторона равна $(x + 8) + 8 = x + 16$, а четвёртая сторона равна $3x$. Периметр равен сумме всех сторон, то есть $66 см$. $$x + 8 + x + x + 16 + 3x = 66$$ $$6x + 24 = 66$$ $$6x = 42$$ $$x = 7$$ Значит, вторая сторона равна 7 см, первая сторона равна $7 + 8 = 15$ см, третья сторона равна $7 + 16 = 23$ см, четвёртая сторона равна $3 \cdot 7 = 21$ см. *Ответ:* **15 см, 7 см, 23 см, 21 см** 8. В выпуклом четырёхугольнике все углы равны. Сумма углов выпуклого четырёхугольника равна $360^\circ$. Если все углы равны, то каждый угол равен $$\frac{360^\circ}{4} = 90^\circ$$. *Ответ:* **90°** 9. Сумма углов в выпуклом четырёхугольнике равна $360^\circ$. Если $\angle A = \angle B = \angle C$, и $\angle D = 135^\circ$, то можно записать: $$\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360^\circ$$ Пусть $\angle A = x$, тогда $$\angle B = x$$ и $$\angle C = x$$. Подставляем известные значения: $$x + x + x + 135^\circ = 360^\circ$$ $$3x + 135^\circ = 360^\circ$$ $$3x = 360^\circ - 135^\circ$$ $$3x = 225^\circ$$ $$x = \frac{225^\circ}{3} = 75^\circ$$ Значит, $$\angle A = \angle B = \angle C = 75^\circ$$. *Ответ:* **∠A = 75°, ∠B = 75°, ∠C = 75°, ∠D = 135°** 10. **Допущение:** требуется найти углы выпуклого четырёхугольника $ABCD$, которые пропорциональны числам 1, 2, 4, 5. Пусть углы пропорциональны числам 1, 2, 4 и 5, то есть $$\angle A = 1x$$, $$\angle B = 2x$$, $$\angle C = 4x$$, $$\angle D = 5x$$. Сумма углов в четырёхугольнике равна $360^\circ$. $$1x + 2x + 4x + 5x = 360^\circ$$ $$12x = 360^\circ$$ $$x = \frac{360^\circ}{12} = 30^\circ$$ Теперь найдём каждый угол: $$\angle A = 1 \cdot 30^\circ = 30^\circ$$ $$\angle B = 2 \cdot 30^\circ = 60^\circ$$ $$\angle C = 4 \cdot 30^\circ = 120^\circ$$ $$\angle D = 5 \cdot 30^\circ = 150^\circ$$ *Ответ:* **∠A = 30°, ∠B = 60°, ∠C = 120°, ∠D = 150°**