Можешь решить уравнения: 1) tg² x = 2

Привет! Давай решим эти уравнения вместе. Я покажу тебе основные шаги, а ты сможешь задать вопросы, если что-то будет непонятно. 1) $\tg^2 x = 2$ Это уравнение говорит, что тангенс $x$ в квадрате равен 2. Чтобы найти $x$, нужно взять квадратный корень из обеих частей уравнения: $\tg x = \pm \sqrt{2}$ Теперь нужно найти углы, тангенс которых равен $\sqrt{2}$ и $-\sqrt{2}$. Это можно сделать с помощью арктангенса ($\arctan$ или $\operatorname{arctg}$): $x = \arctan(\sqrt{2}) + \pi n$ или $x = \arctan(-\sqrt{2}) + \pi n$, где $n$ — любое целое число. 2) $\tg x = \ctg x$ Здесь тангенс $x$ равен котангенсу $x$. Мы знаем, что $\ctg x = \frac{1}{\tg x}$, поэтому уравнение можно переписать так: $\tg x = \frac{1}{\tg x}$ Умножим обе части на $\tg x$: $\tg^2 x = 1$ Теперь берем квадратный корень: $\tg x = \pm 1$ Значит, $x = \frac{\pi}{4} + \pi n$ или $x = -\frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n$ — любое целое число. 3) $\tg^2x - 3 \tg x - 4 = 0$ Это квадратное уравнение относительно $\tg x$. Можно сделать замену $t = \tg x$, тогда уравнение станет: $t^2 - 3t - 4 = 0$ Решаем квадратное уравнение. Сначала найдем дискриминант ($D$): $D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25$ Теперь найдем корни $t_1$ и $t_2$: $t_1 = \frac{-(-3) + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 5}{2} = 4$ $t_2 = \frac{-(-3) - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{3 - 5}{2} = -1$ Теперь возвращаемся к замене и находим $x$: $\tg x = 4$ => $x = \arctan(4) + \pi n$ $\tg x = -1$ => $x = -\frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n$ — любое целое число. 4) $\tg^2 x - \tg x + 1 = 0$ Это тоже квадратное уравнение относительно $\tg x$. Снова делаем замену $t = \tg x$: $t^2 - t + 1 = 0$ Найдем дискриминант: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3$ Так как дискриминант отрицательный, уравнение не имеет действительных решений. Это значит, что нет таких углов $x$, чтобы $\tg^2 x - \tg x + 1 = 0$. Надеюсь, теперь тебе стало понятнее, как решать такие уравнения! Если у тебя есть еще вопросы, не стесняйся спрашивать!