Реши задачу A1: Стороны прямоугольного треугольника равны 3 см, 4 см и 5 см. Найди косинус меньшего острого угла и тангенс большего острого угла этого треугольника.

A1. Меньший угол лежит против меньшего катета, то есть против катета 3 см. Косинус - это отношение прилежащего катета к гипотенузе. Прилежащий катет к меньшему углу - это 4 см, гипотенуза 5 см. cos(меньшего угла) = $\frac{4}{5}$ = 0,8 Больший угол лежит против большего катета, то есть против катета 4 см. Тангенс - это отношение противолежащего катета к прилежащему. Противолежащий катет к большему углу - это 4 см, прилежащий 3 см. tg(большего угла) = $\frac{4}{3}$ ≈ 1,33 **Ответ: cos(меньшего угла) = 0,8, tg(большего угла) = 1,33** A2. Основное тригонометрическое тождество: $sin^2 α + cos^2 α = 1$ Выразим синус: $sin α = \sqrt{1 - cos^2 α}$ Подставим значение косинуса: $sin α = \sqrt{1 - (-\frac{\sqrt{3}}{2})^2} = \sqrt{1 - \frac{3}{4}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$ **Ответ: $\frac{1}{2}$** A3. Tангенс - это отношение синуса к косинусу: $tg α = \frac{sin α}{cos α}$ Выразим косинус из основного тригонометрического тождества: $cos α = \sqrt{1 - sin^2 α}$ Подставим значение синуса: $cos α = \sqrt{1 - (\frac{24}{25})^2} = \sqrt{1 - \frac{576}{625}} = \sqrt{\frac{49}{625}} = \frac{7}{25}$ Подставим значения синуса и косинуса в формулу тангенса: $tg α = \frac{\frac{24}{25}}{\frac{7}{25}} = \frac{24}{7}$ ≈ 3,43 **Ответ: $\frac{24}{7}$** A4. Чтобы построить угол, косинус которого равен $\frac{3}{5}$, можно воспользоваться прямоугольным треугольником. Косинус угла - это отношение прилежащего катета к гипотенузе. Значит, нужно построить прямоугольный треугольник, у которого прилежащий катет равен 3 единицам, а гипотенуза равна 5 единицам. 1. Начерти прямой угол. 2. На одной стороне прямого угла отложи отрезок длиной 3 единицы. 3. Из конца этого отрезка проведи дугу радиусом 5 единиц. 4. Точка пересечения дуги с другой стороной прямого угла будет вершиной треугольника. 5. Соедини эту точку с вершиной прямого угла и с концом первого отрезка. Получившийся угол между гипотенузой и прилежащим катетом будет искомым углом A, косинус которого равен $\frac{3}{5}$.