Нужно определить, рациональным или иррациональным числом является значение выражения в задании под буквой а

Конечно, давай разберемся с этими выражениями! Наша задача - понять, какие из них рациональные (можно представить в виде дроби) и какие иррациональные (нельзя представить в виде дроби). Помни, что иррациональные числа обычно содержат корни, которые не извлекаются нацело. а) $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} - \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$ Чтобы упростить, избавимся от иррациональности в знаменателе каждой дроби. Для этого первую дробь умножим на $(\sqrt{5} + \sqrt{3})$, а вторую на $(\sqrt{5} - \sqrt{3})$: $$\frac{\sqrt{5}(\sqrt{5}+\sqrt{3})}{(\sqrt{5}-\sqrt{3})(\sqrt{5}+\sqrt{3})} - \frac{\sqrt{3}(\sqrt{5}-\sqrt{3})}{(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})} = \frac{5+\sqrt{15}}{5-3} - \frac{\sqrt{15}-3}{5-3} = \frac{5+\sqrt{15} - \sqrt{15} + 3}{2} = \frac{8}{2} = 4$$ Получили целое число 4, значит, это рациональное число. б) $\frac{\sqrt{2}-\sqrt{7}}{\sqrt{2}+ \sqrt{7}} - \frac{\sqrt{2}+\sqrt{7}}{\sqrt{2}-\sqrt{7}}$ Опять избавляемся от иррациональности в знаменателе. Первую дробь умножим на $(\sqrt{2} - \sqrt{7})$, а вторую на $(\sqrt{2} + \sqrt{7})$: $$\frac{(\sqrt{2}-\sqrt{7})(\sqrt{2}-\sqrt{7})}{(\sqrt{2}+\sqrt{7})(\sqrt{2}-\sqrt{7})} - \frac{(\sqrt{2}+\sqrt{7})(\sqrt{2}+\sqrt{7})}{(\sqrt{2}-\sqrt{7})(\sqrt{2}+\sqrt{7})} = \frac{2 - 2\sqrt{14} + 7}{2-7} - \frac{2 + 2\sqrt{14} + 7}{2-7} = \frac{9 - 2\sqrt{14}}{-5} - \frac{9 + 2\sqrt{14}}{-5} = \frac{9 - 2\sqrt{14} - 9 - 2\sqrt{14}}{-5} = \frac{-4\sqrt{14}}{-5} = \frac{4\sqrt{14}}{5}$$ Так как остался корень, то это иррациональное число. в) $\frac{\sqrt{8}-3}{2\sqrt{2}+3} + \frac{\sqrt{8}+3}{2\sqrt{2}-3}$ Здесь тоже нужно избавиться от иррациональности в знаменателе. Домножаем первую дробь на $(2\sqrt{2}-3)$, а вторую на $(2\sqrt{2}+3)$: $$\frac{(\sqrt{8}-3)(2\sqrt{2}-3)}{(2\sqrt{2}+3)(2\sqrt{2}-3)} + \frac{(\sqrt{8}+3)(2\sqrt{2}+3)}{(2\sqrt{2}-3)(2\sqrt{2}+3)} = \frac{2\sqrt{16} - 3\sqrt{8} - 6\sqrt{2} + 9}{8-9} + \frac{2\sqrt{16} + 3\sqrt{8} + 6\sqrt{2} + 9}{8-9} = \frac{8 - 3\sqrt{8} - 6\sqrt{2} + 9}{-1} + \frac{8 + 3\sqrt{8} + 6\sqrt{2} + 9}{-1} = -17 + 3\sqrt{8} + 6\sqrt{2} - 17 - 3\sqrt{8} - 6\sqrt{2} = -34$$ Получили -34, значит, это рациональное число. г) $2 - \sqrt{3} + \frac{8}{2+\sqrt{3}}$ Избавляемся от иррациональности в знаменателе: умножим дробь на $(2-\sqrt{3})$: $$2 - \sqrt{3} + \frac{8(2-\sqrt{3})}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})} = 2 - \sqrt{3} + \frac{16 - 8\sqrt{3}}{4-3} = 2 - \sqrt{3} + 16 - 8\sqrt{3} = 18 - 9\sqrt{3}$$ Так как остался корень, то это иррациональное число. д) $\sqrt{(2-3\sqrt{2})^2} - 2\sqrt{2}$ Тут надо вспомнить, что $\sqrt{a^2} = |a|$, то есть модуль числа a: $$|2-3\sqrt{2}| - 2\sqrt{2}$$ Так как $3\sqrt{2} > 2$, то $|2-3\sqrt{2}| = -(2-3\sqrt{2}) = 3\sqrt{2} - 2$: $$3\sqrt{2} - 2 - 2\sqrt{2} = \sqrt{2} - 2$$ Так как остался корень, то это иррациональное число. е) $2\sqrt{5} - \sqrt{(1-2\sqrt{5})^2}$ Аналогично предыдущему примеру: $$2\sqrt{5} - |1-2\sqrt{5}|$$ Так как $2\sqrt{5} > 1$, то $|1-2\sqrt{5}| = -(1-2\sqrt{5}) = 2\sqrt{5} - 1$: $$2\sqrt{5} - (2\sqrt{5} - 1) = 2\sqrt{5} - 2\sqrt{5} + 1 = 1$$ Получили 1, значит, это рациональное число. Теперь давай подведем итоги: * Рациональные: a, в, е * Иррациональные: б, г, д Вот и всё! Надеюсь, теперь тебе стало понятнее, как определять, какое число рациональное, а какое иррациональное.