Ты просишь меня найти значения и доказать равенства с квадратными корнями из упражнений 289-296

Конечно, давай решим эти задания вместе! Я помогу тебе разобраться с каждым из них. **289. Докажите, что число:** Чтобы доказать, что число является арифметическим квадратным корнем из другого числа, нужно показать, что его квадрат равен этому числу. * а) $5$ есть арифметический квадратный корень из $25$, потому что $5^2 = 5 \cdot 5 = 25$. * б) $0{,}3$ есть арифметический квадратный корень из $0{,}09$, потому что $0{,}3^2 = 0{,}3 \cdot 0{,}3 = 0{,}09$. * в) $-7$ не является арифметическим квадратным корнем из $49$, потому что арифметический квадратный корень всегда неотрицательное число. * г) $0{,}6$ не является арифметическим квадратным корнем из $3{,}6$, потому что $0{,}6^2 = 0{,}6 \cdot 0{,}6 = 0{,}36$, а не $3{,}6$. **290. Докажите, что:** Чтобы доказать равенство с квадратными корнями, нужно показать, что подкоренное выражение равно квадрату числа после знака равенства. * а) $\sqrt{121} = 11$, потому что $11^2 = 11 \cdot 11 = 121$. * б) $\sqrt{169} = 13$, потому что $13^2 = 13 \cdot 13 = 169$. * в) $\sqrt{1{,}44} = 1{,}2$, потому что $1{,}2^2 = 1{,}2 \cdot 1{,}2 = 1{,}44$. * г) $\sqrt{0{,}49} = 0{,}7$, потому что $0{,}7^2 = 0{,}7 \cdot 0{,}7 = 0{,}49$. **291. Найдите значение корня:** * а) $\sqrt{81} = 9$, потому что $9^2 = 81$. * б) $\sqrt{36} = 6$, потому что $6^2 = 36$. * в) $\sqrt{1600} = 40$, потому что $40^2 = 1600$. * г) $\sqrt{10000} = 100$, потому что $100^2 = 10000$. * д) $\sqrt{0{,}04} = 0{,}2$, потому что $0{,}2^2 = 0{,}04$. * е) $\sqrt{0{,}81} = 0{,}9$, потому что $0{,}9^2 = 0{,}81$. * ж) $\sqrt{\frac{81}{4}} = \frac{9}{2} = 4{,}5$, потому что $\left(\frac{9}{2}\right)^2 = \frac{81}{4}$. * з) $\sqrt{1\frac{24}{25}} = \sqrt{\frac{49}{25}} = \frac{7}{5} = 1{,}4$, потому что $\left(\frac{7}{5}\right)^2 = \frac{49}{25} = 1\frac{24}{25}$. **292. Вычислите:** * а) $\sqrt{900} = 30$, потому что $30^2 = 900$. * б) $\sqrt{0{,}01} = 0{,}1$, потому что $0{,}1^2 = 0{,}01$. * в) $\sqrt{0{,}64} = 0{,}8$, потому что $0{,}8^2 = 0{,}64$. * г) $\sqrt{\frac{121}{64}} = \frac{11}{8} = 1\frac{3}{8}$, потому что $\left(\frac{11}{8}\right)^2 = \frac{121}{64}$. * д) $\sqrt{6\frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{25}{4}} = \frac{5}{2} = 2{,}5$, потому что $\left(\frac{5}{2}\right)^2 = \frac{25}{4} = 6\frac{1}{4}$. **293. Найдите значение выражения:** * а) $\sqrt{a + b}$ при $a = 33$ и $b = -8$: $$\sqrt{33 + (-8)} = \sqrt{33 - 8} = \sqrt{25} = 5$$ * б) $\sqrt{3x - 5}$ при $x = 23$: $$\sqrt{3 \cdot 23 - 5} = \sqrt{69 - 5} = \sqrt{64} = 8$$ * Если $x = 1{,}83$: $$\sqrt{3 \cdot 1{,}83 - 5} = \sqrt{5{,}49 - 5} = \sqrt{0{,}49} = 0{,}7$$ * в) $x + \sqrt{x}$ при $x = 0$: $$0 + \sqrt{0} = 0 + 0 = 0$$ * Если $x = 0{,}01$: $$0{,}01 + \sqrt{0{,}01} = 0{,}01 + 0{,}1 = 0{,}11$$ * Если $x = 0{,}36$: $$0{,}36 + \sqrt{0{,}36} = 0{,}36 + 0{,}6 = 0{,}96$$ * Если $x = 0{,}64$: $$0{,}64 + \sqrt{0{,}64} = 0{,}64 + 0{,}8 = 1{,}44$$ * Если $x = 1$: $$1 + \sqrt{1} = 1 + 1 = 2$$ * Если $x = 25$: $$25 + \sqrt{25} = 25 + 5 = 30$$ * Если $x = 100$: $$100 + \sqrt{100} = 100 + 10 = 110$$ * Если $x = 3600$: $$3600 + \sqrt{3600} = 3600 + 60 = 3660$$ **294. Найдите значение выражения:** * а) $\sqrt{x} + \sqrt{y}$ при $x = \frac{9}{25}$ и $y = 0{,}36$: $$\sqrt{\frac{9}{25}} + \sqrt{0{,}36} = \frac{3}{5} + 0{,}6 = 0{,}6 + 0{,}6 = 1{,}2$$ * б) $\sqrt{4 - 2a}$ при $a = 2$: $$\sqrt{4 - 2 \cdot 2} = \sqrt{4 - 4} = \sqrt{0} = 0$$ * Если $a = -22{,}5$: $$\sqrt{4 - 2 \cdot (-22{,}5)} = \sqrt{4 + 45} = \sqrt{49} = 7$$ **295. Найдите значение выражения:** * а) $\sqrt{0{,}09} + \sqrt{0{,}25} = 0{,}3 + 0{,}5 = 0{,}8$ * б) $\sqrt{0{,}04} - \sqrt{0{,}01} = 0{,}2 - 0{,}1 = 0{,}1$ * в) $3\sqrt{9 - 16}$ — здесь возникла небольшая сложность. Выражение под корнем должно быть неотрицательным, но $9 - 16 = -7$, что меньше нуля. Поэтому в области действительных чисел это выражение не имеет смысла. * г) $-7\sqrt{0{,}36} + 5{,}4 = -7 \cdot 0{,}6 + 5{,}4 = -4{,}2 + 5{,}4 = 1{,}2$ * д) $0{,}1\sqrt{400} + 0{,}2\sqrt{1600} = 0{,}1 \cdot 20 + 0{,}2 \cdot 40 = 2 + 8 = 10$ * е) $\frac{1}{3}\sqrt{0{,}36} + \frac{1}{5}\sqrt{900} = \frac{1}{3} \cdot 0{,}6 + \frac{1}{5} \cdot 30 = 0{,}2 + 6 = 6{,}2$ **296. Найдите значение выражения:** * а) $0{,}6\sqrt{36} = 0{,}6 \cdot 6 = 3{,}6$ * б) $-2{,}5\sqrt{25} = -2{,}5 \cdot 5 = -12{,}5$ * в) $\sqrt{0{,}49} + \sqrt{0{,}16} = 0{,}7 + 0{,}4 = 1{,}1$ * г) $\sqrt{0{,}64} - \sqrt{0{,}04} = 0{,}8 - 0{,}2 = 0{,}6$ * д) $-\sqrt{0{,}0036} + \sqrt{0{,}01} = -0{,}06 + 0{,}1 = 0{,}04$ * е) $\sqrt{0{,}16} + \sqrt{0{,}09} = 0{,}4 + 0{,}3 = 0{,}7$ * ж) $\frac{1}{3}\sqrt{0{,}81} - 1 = \frac{1}{3} \cdot 0{,}9 - 1 = 0{,}3 - 1 = -0{,}7$ * з) $4 - 10\sqrt{0{,}01} = 4 - 10 \cdot 0{,}1 = 4 - 1 = 3$ Надеюсь, теперь тебе всё понятно! Если у тебя возникнут ещё вопросы, не стесняйся спрашивать.