Реши задачи 13-24

## Задача 14. Пусть $x$ - коэффициент пропорциональности. Тогда стороны треугольника равны $2x$, $3x$ и $4x$. Периметр треугольника - это сумма длин всех его сторон. $$2x + 3x + 4x = 54$$ $$9x = 54$$ $$x = 6$$ Тогда длины сторон треугольника: $2x = 2 * 6 = 12$ см $3x = 3 * 6 = 18$ см $4x = 4 * 6 = 24$ см **Ответ: 12 см, 18 см, 24 см** *Перевод: Пусть $x$ - коэффициент пропорциональности. Тогда стороны треугольника равны $2x$, $3x$ и $4x$. Периметр треугольника - это сумма длин всех его сторон. Тогда длины сторон треугольника: $2x = 2 * 6 = 12$ см, $3x = 3 * 6 = 18$ см, $4x = 4 * 6 = 24$ см* ## Задача 16. Периметр равнобедренного треугольника равен 15,6 м. а) Пусть $a$ - боковая сторона, $b$ - основание. Тогда $b = a - 3$. Периметр равен $2a + b = 15,6$. Подставим $b = a - 3$ в уравнение периметра: $$2a + (a - 3) = 15,6$$ $$3a - 3 = 15,6$$ $$3a = 18,6$$ $$a = 6,2$$ Тогда $b = 6,2 - 3 = 3,2$ Стороны: 6,2 м, 6,2 м, 3,2 м. *Перевод: Стороны: 6,2 м, 6,2 м, 3,2 м.* ## Задача 18. В треугольнике $ABC$ угол $A$ равен $40^\\{circ\}$ и $AC = BC$. Найдем угол $C$. Так как $AC = BC$, то треугольник $ABC$ равнобедренный, и углы при основании равны, то есть $\angle A = \angle B = 40^". Сумма углов в треугольнике равна $180^". Тогда: $$\angle C = 180^\circ - (\angle A + \angle B) = 180^\circ - (40^\circ + 40^\circ) = 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ$$ **Ответ: 100 градусов** *Перевод: Угол C = 100 градусов* ## Задача 19. Пусть углы треугольника относятся как 1 : 2 : 3. Пусть $x$ - коэффициент пропорциональности. Тогда углы равны $x$, $2x$ и $3x$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. $$x + 2x + 3x = 180^\circ$$ $$6x = 180^\circ$$ $$x = 30^\circ$$ Тогда углы треугольника: $x = 30^\circ$ $2x = 2 * 30^\circ = 60^\circ$ $3x = 3 * 30^\circ = 90^\circ$ **Ответ: 30 градусов** *Перевод: Угол равен 30 градусов* ## Задача 20. В треугольнике $ABC$ $AB = BC$. Внешний угол при вершине $B$ равен $138^\circ$. Найдем угол $C$. Так как внешний угол при вершине $B$ равен $138^\circ$, то внутренний угол при вершине $B$ равен: $$\angle B = 180^\circ - 138^\circ = 42^\circ$$ Так как $AB = BC$, то треугольник $ABC$ равнобедренный, и углы при основании равны, то есть $\angle A = \angle C$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. $$\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$$ $$\angle A + 42^\circ + \angle A = 180^\circ$$ $$2 * \angle A = 138^\circ$$ $$\angle A = 69^\circ$$ Следовательно, $\angle C = 69^\circ$ **Ответ: 69 градусов** *Перевод: Угол C = 69 градусов* ## Задача 21. **Допущение:** средняя линия параллельна стороне, периметр которой неизвестен. Пусть периметр треугольника равен $P = 15$ см. Средняя линия отсекает треугольник, подобный исходному с коэффициентом подобия $k = \frac{1}{2}$. Тогда периметр отсеченного треугольника равен: $$P_{отсеч} = k * P = \frac{1}{2} * 15 = 7,5 \text{ см}$$ **Ответ: 7,5 см** *Перевод: Периметр равен 7,5 см* ## Задача 22. В равностороннем треугольнике со стороной $a = 1$ все углы равны $60^\circ$. Высота в равностороннем треугольнике также является медианой и биссектрисой. Она делит треугольник на два равных прямоугольных треугольника с гипотенузой $a = 1$ и катетом, равным половине стороны, то есть $\frac{1}{2}$. По теореме Пифагора: $$h^2 + (\frac{1}{2})^2 = 1^2$$ $$h^2 + \frac{1}{4} = 1$$ $$h^2 = \frac{3}{4}$$ $$h = \frac{\sqrt{3}}{2}$$ **Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$** *Перевод: Высота = $\frac{\sqrt{3}}{2}$* ## Задача 23. Стороны первого треугольника: 16 см, 8 см и 10 см. Наименьшая сторона второго треугольника (подобного первому) равна 6 см. Определим коэффициент подобия $k$ как отношение наименьших сторон подобных треугольников: $$k = \frac{6}{8} = \frac{3}{4} = 0,75$$ Тогда другие стороны второго треугольника будут равны: $16 * 0,75 = 12$ см $10 * 0,75 = 7,5$ см **Ответ: 12 см и 7,5 см** *Перевод: 12 см и 7,5 см* ## Задача 24. В прямоугольном треугольнике высота, опущенная на гипотенузу, делит его на два прямоугольных треугольника, подобных исходному. Это можно доказать, используя равенство углов. *Перевод: В прямоугольном треугольнике высота, опущенная на гипотенузу, делит его на два прямоугольных треугольника, подобных исходному. Это можно доказать, используя равенство углов.*