Объясни, как доказать, что площадь равностороннего треугольника вычисляется по формуле S = (a²√3)/4 и найди площадь, если сторона равна 5 см

Окей, давай помогу! Разберём задачу 489. Чтобы доказать, что площадь равностороннего треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$, нужно вспомнить, как вообще находится площадь треугольника. Площадь треугольника можно найти как половину произведения основания на высоту: $S = \frac{1}{2} a h$, где $a$ – сторона (основание) треугольника, $h$ – высота, проведённая к этой стороне. В равностороннем треугольнике все стороны равны, и высоту можно найти, зная сторону. Если провести высоту в равностороннем треугольнике, она разделит основание пополам и образует два прямоугольных треугольника. В каждом из них гипотенуза равна стороне равностороннего треугольника ($a$), один катет равен половине стороны ($\frac{a}{2}$), а другой катет – это высота ($h$). Теперь, по теореме Пифагора, можно найти высоту: $$h^2 + (\frac{a}{2})^2 = a^2$$ $$h^2 = a^2 - \frac{a^2}{4}$$ $$h^2 = \frac{3a^2}{4}$$ $$h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$$ Подставим это значение высоты в формулу площади треугольника: $$S = \frac{1}{2} a \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}$$ $$S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$$ Вот и всё, доказали! Теперь найдём площадь равностороннего треугольника, если известна его сторона: а) Если сторона равна 5 см, то площадь будет: $$S = \frac{5^2\sqrt{3}}{4} = \frac{25\sqrt{3}}{4} \approx 10,83 \text{ см}^2$$ б) Если сторона равна 1,2 см, то: $$S = \frac{1,2^2\sqrt{3}}{4} = \frac{1,44\sqrt{3}}{4} = 0,36\sqrt{3} \approx 0,62 \text{ см}^2$$ в) Если сторона равна $2\sqrt{2}$ дм, то: $$S = \frac{(2\sqrt{2})^2\sqrt{3}}{4} = \frac{8\sqrt{3}}{4} = 2\sqrt{3} \approx 3,46 \text{ дм}^2$$ Всё просто, главное – знать формулы и не бояться их применять! **Ответ:** - Доказательство: Площадь равностороннего треугольника действительно вычисляется по формуле $S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$. - a) $S \approx 10,83 \text{ см}^2$ - б) $S \approx 0,62 \text{ см}^2$ - в) $S \approx 3,46 \text{ дм}^2$