Помоги мне найти длины векторов: a) a + b.

Чтобы найти длины векторов, сначала вспомним, что векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$, и $\vec{c}$ — единичные, то есть их длины равны 1. Углы между векторами важны для вычисления скалярных произведений, которые нам понадобятся. a) $|\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{(\vec{a} + \vec{b})^2} = \sqrt{\vec{a}^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + \vec{b}^2}$. Так как $|\vec{a}| = 1$, $|\vec{b}| = 1$ и $(\vec{a}; \vec{b}) = 90^\circ$, то $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos{90^\circ} = 1 \cdot 1 \cdot 0 = 0$. Тогда $|\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{1^2 + 2 \cdot 0 + 1^2} = \sqrt{2}$. б) $|4\vec{a} + 3\vec{c}| = \sqrt{(4\vec{a} + 3\vec{c})^2} = \sqrt{16\vec{a}^2 + 24(\vec{a} \cdot \vec{c}) + 9\vec{c}^2}$. Так как $|\vec{a}| = 1$, $|\vec{c}| = 1$ и $(\vec{a}; \vec{c}) = 90^\circ$, то $\vec{a} \cdot \vec{c} = |\vec{a}| |\vec{c}| \cos{90^\circ} = 1 \cdot 1 \cdot 0 = 0$. Тогда $|4\vec{a} + 3\vec{c}| = \sqrt{16 \cdot 1^2 + 24 \cdot 0 + 9 \cdot 1^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$. в) $|5\vec{b} + 3\vec{c}| = \sqrt{(5\vec{b} + 3\vec{c})^2} = \sqrt{25\vec{b}^2 + 30(\vec{b} \cdot \vec{c}) + 9\vec{c}^2}$. Так как $|\vec{b}| = 1$, $|\vec{c}| = 1$ и $(\vec{b}; \vec{c}) = 120^\circ$, то $\vec{b} \cdot \vec{c} = |\vec{b}| |\vec{c}| \cos{120^\circ} = 1 \cdot 1 \cdot (-0.5) = -0.5$. Тогда $|5\vec{b} + 3\vec{c}| = \sqrt{25 \cdot 1^2 + 30 \cdot (-0.5) + 9 \cdot 1^2} = \sqrt{25 - 15 + 9} = \sqrt{19}$. г) $|\vec{a} + \vec{b} - 2\vec{c}| = \sqrt{(\vec{a} + \vec{b} - 2\vec{c})^2} = \sqrt{\vec{a}^2 + \vec{b}^2 + 4\vec{c}^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) - 4(\vec{a} \cdot \vec{c}) - 4(\vec{b} \cdot \vec{c})}$. Подставляем известные значения: $|\vec{a}| = 1$, $|\vec{b}| = 1$, $|\vec{c}| = 1$, $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$, $\vec{a} \cdot \vec{c} = 0$, $\vec{b} \cdot \vec{c} = -0.5$. Тогда $|\vec{a} + \vec{b} - 2\vec{c}| = \sqrt{1 + 1 + 4 + 0 - 0 - 4 \cdot (-0.5)} = \sqrt{6 + 2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$. д) $|-\vec{a} - 4\vec{b} + 3\vec{c}| = \sqrt{(-\vec{a} - 4\vec{b} + 3\vec{c})^2} = \sqrt{\vec{a}^2 + 16\vec{b}^2 + 9\vec{c}^2 + 8(\vec{a} \cdot \vec{b}) - 6(\vec{a} \cdot \vec{c}) - 24(\vec{b} \cdot \vec{c})}$. Подставляем известные значения: $|\vec{a}| = 1$, $|\vec{b}| = 1$, $|\vec{c}| = 1$, $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$, $\vec{a} \cdot \vec{c} = 0$, $\vec{b} \cdot \vec{c} = -0.5$. Тогда $|-\vec{a} - 4\vec{b} + 3\vec{c}| = \sqrt{1 + 16 + 9 + 0 - 0 - 24 \cdot (-0.5)} = \sqrt{26 + 12} = \sqrt{38}$.