Реши задачу: одно число на 15% больше другого. Если к меньшему числу прибавить 16, а из большего вычесть 32, то числа станут равными. Найди эти числа. Найди корни уравнений: 1) \frac{5}{x^2-2x+4} = \frac{1}{x+2} + \frac{4}{x^3+8}

4. Давай решим эту задачу вместе! Пусть первое число (меньшее) будет $x$. Тогда второе число (большее) будет $1.15x$ (так как оно на 15% больше). Теперь составим уравнения, исходя из условия: $x + 16 = 1.15x - 32$ Решаем уравнение: $1. 15x - x = 16 + 32$ $2. 15x = 48$ $x = 48 / 0.15$ $x = 320$ Теперь найдем второе число: $1. 15 * 320 = 368$ **Ответ: 320 и 368** 5.1) $\frac{5}{x^2-2x+4} = \frac{1}{x+2} + \frac{4}{x^3+8}$ Приведем уравнение к общему знаменателю. Заметим, что $x^3 + 8 = (x + 2)(x^2 - 2x + 4)$. Тогда уравнение можно переписать как: $\frac{5}{(x^2-2x+4)} = \frac{1}{x+2} + \frac{4}{(x+2)(x^2-2x+4)}$ Умножим обе части уравнения на $(x + 2)(x^2 - 2x + 4)$, чтобы избавиться от знаменателей: $5(x + 2) = (x^2 - 2x + 4) + 4$ Раскроем скобки и упростим: $5x + 10 = x^2 - 2x + 8$ Перенесем все в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: $x^2 - 7x - 2 = 0$ Теперь решим это квадратное уравнение. Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$, где $a = 1$, $b = -7$, и $c = -2$. $x = \frac{7 \pm \sqrt{(-7)^2 - 4 * 1 * (-2)}}{2 * 1}$ $x = \frac{7 \pm \sqrt{49 + 8}}{2}$ $x = \frac{7 \pm \sqrt{57}}{2}$ Итак, корни уравнения: $x_1 = \frac{7 + \sqrt{57}}{2}$ $x_2 = \frac{7 - \sqrt{57}}{2}$ **Ответ: $x_1 = \frac{7 + \sqrt{57}}{2}$, $x_2 = \frac{7 - \sqrt{57}}{2}$** 5.2) $(\frac{x^2+6}{x^2-4})^2=(\frac{5x}{4-x^2})^2$ Заметим, что $4 - x^2 = -(x^2 - 4)$. Тогда можно переписать уравнение как: $(\frac{x^2+6}{x^2-4})^2=(\frac{5x}{-(x^2-4)})^2$ $(\frac{x^2+6}{x^2-4})^2=(\frac{-5x}{x^2-4})^2$ Теперь извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения: $\frac{x^2+6}{x^2-4} = \pm \frac{-5x}{x^2-4}$ Умножим обе части на $x^2 - 4$, чтобы избавиться от знаменателя: $x^2 + 6 = \pm (-5x)$ Рассмотрим два случая: Случай 1: $x^2 + 6 = -5x$ $x^2 + 5x + 6 = 0$ Решаем это квадратное уравнение. Подбираем корни или используем формулу. Корни: $x_1 = -2$, $x_2 = -3$ Случай 2: $x^2 + 6 = 5x$ $x^2 - 5x + 6 = 0$ Решаем это квадратное уравнение. Корни: $x_3 = 2$, $x_4 = 3$ Однако, нужно исключить значения, при которых знаменатель $x^2 - 4$ обращается в ноль. Это $x = 2$ и $x = -2$. Тогда остаются корни: $x = -3$ и $x = 3$. **Ответ: -3, 3**