Ты просишь меня найти все комплексные числа z, такие что: 1) z² = i

Конечно, давай решим эти уравнения с комплексными числами! **1) $z^2 = i$** Представим комплексное число $z$ в виде $z = a + bi$, где $a$ и $b$ - действительные числа. Тогда: $$(a + bi)^2 = i$$ $$a^2 + 2abi - b^2 = i$$ Теперь приравняем действительные и мнимые части: Действительная часть: $a^2 - b^2 = 0$ Мнимая часть: $2ab = 1$ Из первого уравнения следует, что $a^2 = b^2$, значит, $a = b$ или $a = -b$. Рассмотрим оба случая: * Если $a = b$, то из второго уравнения $2a^2 = 1$, следовательно, $a = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$. Таким образом, $z_1 = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i$ и $z_2 = -\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}i$. * Если $a = -b$, то из второго уравнения $2a(-a) = 1$, то есть $-2a^2 = 1$. Но это невозможно, так как $a$ - действительное число, и его квадрат не может быть отрицательным. **2) $z^2 = -5 + 12i$** Снова представим $z = a + bi$: $$(a + bi)^2 = -5 + 12i$$ $$a^2 + 2abi - b^2 = -5 + 12i$$ Приравниваем действительные и мнимые части: Действительная часть: $a^2 - b^2 = -5$ Мнимая часть: $2ab = 12$ Из второго уравнения находим $b = \frac{6}{a}$. Подставим в первое уравнение: $$a^2 - \left(\frac{6}{a}\right)^2 = -5$$ $$a^2 - \frac{36}{a^2} = -5$$ Умножим обе части на $a^2$: $$a^4 + 5a^2 - 36 = 0$$ Введём замену $t = a^2$, тогда уравнение примет вид: $$t^2 + 5t - 36 = 0$$ Решаем квадратное уравнение относительно $t$: $$D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-36) = 25 + 144 = 169$$ $$t_1 = \frac{-5 + \sqrt{169}}{2} = \frac{-5 + 13}{2} = 4$$ $$t_2 = \frac{-5 - \sqrt{169}}{2} = \frac{-5 - 13}{2} = -9$$ Так как $t = a^2$, то $a^2 = 4$ или $a^2 = -9$. Второй случай невозможен, так как $a$ - действительное число. Значит, $a^2 = 4$, следовательно, $a = \pm 2$. * Если $a = 2$, то $b = \frac{6}{2} = 3$. Таким образом, $z_3 = 2 + 3i$. * Если $a = -2$, то $b = \frac{6}{-2} = -3$. Таким образом, $z_4 = -2 - 3i$. **Ответ:** 1) $z_1 = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i$ и $z_2 = -\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}i$. 2) $z_3 = 2 + 3i$ и $z_4 = -2 - 3i$.