Как решить уравнение $3 \cos^2 x - \sin x - 1 = 0?

Конечно, давай решим уравнение $3 \cos^2 x - \sin x - 1 = 0$.\begin{enumerate} \item Вспомним основное тригонометрическое тождество: $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$. Выразим $\cos^2 x$ через $\sin^2 x$: $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$. \item Подставим это выражение в исходное уравнение: $3(1 - \sin^2 x) - \sin x - 1 = 0$. \item Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые: $3 - 3\sin^2 x - \sin x - 1 = 0$, что упрощается до $-3\sin^2 x - \sin x + 2 = 0$. \item Умножим обе части уравнения на $-1$, чтобы получить более привычный вид: $3\sin^2 x + \sin x - 2 = 0$. \item Сделаем замену переменной: пусть $t = \sin x$. Тогда уравнение примет вид $3t^2 + t - 2 = 0$. \item Решим квадратное уравнение относительно $t$. Для этого найдём дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(3)(-2) = 1 + 24 = 25$. Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. \item Найдём корни уравнения: $$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2(3)} = \frac{-1 + 5}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$$ $$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2(3)} = \frac{-1 - 5}{6} = \frac{-6}{6} = -1$$ \item Вернёмся к исходной переменной $x$: \begin{itemize} \item $\sin x = \frac{2}{3}$. Это значение находится в пределах $[-1, 1]$, поэтому решение существует. $x_1 = \arcsin(\frac{2}{3}) + 2\pi k$ или $x_2 = \pi - \arcsin(\frac{2}{3}) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. \item $\sin x = -1$. Это значение также находится в пределах $[-1, 1]$, поэтому решение существует. $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. \end{itemize} \end{enumerate} **Ответ:** $x_1 = \arcsin(\frac{2}{3}) + 2\pi k$, $x_2 = \pi - \arcsin(\frac{2}{3}) + 2\pi k$, $x_3 = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.