Ты просишь найти длины векторов AB, BC, DC, MC, MA, CB, AC в прямоугольнике ABCD, где AB = 3 см, ВС = 4 см, М — середина стороны AB, и найти длины векторов AD, BC, CD в основании AD прямоугольной трапеции ABCD с прямым углом A, где AD равно 12 см, AB = 5 см, ∠D = 45°.

Задача 745 В прямоугольнике $ABCD$ известны стороны $AB = 3$ см и $BC = 4$ см. Точка $M$ - середина стороны $AB$. Нужно найти длины векторов $\vec{AB}$, $\vec{BC}$, $\vec{DC}$, $\vec{MC}$, $\vec{MA}$, $\vec{CB}$, $\vec{AC}$. Решение: 1. Длина вектора $\vec{AB}$ равна длине стороны $AB$, то есть $|\vec{AB}| = 3$ см. 2. Длина вектора $\vec{BC}$ равна длине стороны $BC$, то есть $|\vec{BC}| = 4$ см. 3. Длина вектора $\vec{DC}$ равна длине стороны $AB$, так как в прямоугольнике противоположные стороны равны, то есть $|\vec{DC}| = 3$ см. 4. Чтобы найти длину вектора $\vec{MC}$, рассмотрим прямоугольный треугольник $MBC$. $MB = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \cdot 3 = 1,5$ см, $BC = 4$ см. По теореме Пифагора: $MC = \sqrt{MB^2 + BC^2} = \sqrt{1,5^2 + 4^2} = \sqrt{2,25 + 16} = \sqrt{18,25} = 4,27$ см (округлённо). Следовательно, $|\vec{MC}| = 4,27$ см. 5. Длина вектора $\vec{MA}$ равна половине длины стороны $AB$, так как $M$ - середина $AB$, то есть $|\vec{MA}| = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \cdot 3 = 1,5$ см. 6. Длина вектора $\vec{CB}$ равна длине стороны $BC$, то есть $|\vec{CB}| = 4$ см. 7. Чтобы найти длину вектора $\vec{AC}$, рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$. $AB = 3$ см, $BC = 4$ см. По теореме Пифагора: $AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ см. Следовательно, $|\vec{AC}| = 5$ см. **Ответ:** $|\vec{AB}| = 3$ см, $|\vec{BC}| = 4$ см, $|\vec{DC}| = 3$ см, $|\vec{MC}| = 4,27$ см, $|\vec{MA}| = 1,5$ см, $|\vec{CB}| = 4$ см, $|\vec{AC}| = 5$ см. Задача 746 В прямоугольной трапеции $ABCD$ с прямым углом $A$ дано: основание $AD = 12$ см, $AB = 5$ см, угол $D = 45^\circ$. Нужно найти длины векторов $\vec{AD}$, $\vec{BC}$, $\vec{CD}$. Решение: 1. Длина вектора $\vec{AD}$ равна длине основания $AD$, то есть $|\vec{AD}| = 12$ см. 2. Чтобы найти длину вектора $\vec{BC}$, нужно найти длину отрезка $BC$. Так как трапеция прямоугольная, то $AB$ - высота трапеции. Проведём высоту $CH$ из вершины $C$ к основанию $AD$. Тогда $AH = BC$ и $HD = AD - AH = AD - BC$. В прямоугольном треугольнике $CHD$ угол $D = 45^\circ$, значит, угол $HCD = 45^\circ$, и треугольник $CHD$ - равнобедренный, то есть $HD = CH = AB = 5$ см. Тогда $AD - BC = 5$, значит, $12 - BC = 5$, откуда $BC = 12 - 5 = 7$ см. Следовательно, $|\vec{BC}| = 7$ см. 3. Чтобы найти длину вектора $\vec{CD}$, рассмотрим прямоугольный треугольник $CHD$. $CH = 5$ см, $HD = 5$ см. По теореме Пифагора: $CD = \sqrt{CH^2 + HD^2} = \sqrt{5^2 + 5^2} = \sqrt{25 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} = 7,07$ см (округлённо). Следовательно, $|\vec{CD}| = 7,07$ см. **Ответ:** $|\vec{AD}| = 12$ см, $|\vec{BC}| = 7$ см, $|\vec{CD}| = 7,07$ см.