Объясни, как упростить выражение ($$\frac{a-3}{a^2-3a+9} - \frac{6a-18}{a^3+27}$$) : $$\frac{5a-15}{4a^3+108}$$

Привет! Давай решим это вместе. Сначала упростим выражение в скобках. Заметим, что $a^3 + 27$ можно разложить как сумму кубов: $a^3 + 3^3 = (a+3)(a^2 - 3a + 9)$. Также, $6a - 18 = 6(a-3)$. Тогда выражение в скобках можно переписать так: $$\frac{a-3}{a^2-3a+9} - \frac{6(a-3)}{(a+3)(a^2-3a+9)}$$ Приведем к общему знаменателю: $$\frac{(a-3)(a+3) - 6(a-3)}{(a+3)(a^2-3a+9)} = \frac{a^2 - 9 - 6a + 18}{(a+3)(a^2-3a+9)} = \frac{a^2 - 6a + 9}{(a+3)(a^2-3a+9)} = \frac{(a-3)^2}{(a+3)(a^2-3a+9)}$$ Теперь упростим вторую дробь. Заметим, что $4a^3 + 108 = 4(a^3 + 27) = 4(a+3)(a^2-3a+9)$, а $5a - 15 = 5(a-3)$. Тогда вторая дробь: $$\frac{5(a-3)}{4(a+3)(a^2-3a+9)}$$ Теперь разделим первую дробь на вторую, что эквивалентно умножению на обратную дробь: $$\frac{(a-3)^2}{(a+3)(a^2-3a+9)} : \frac{5(a-3)}{4(a+3)(a^2-3a+9)} = \frac{(a-3)^2}{(a+3)(a^2-3a+9)} \cdot \frac{4(a+3)(a^2-3a+9)}{5(a-3)}$$ Сокращаем: $$\frac{(a-3)^2 \cdot 4}{5(a-3)} = \frac{4(a-3)}{5}$$ **Ответ: $\frac{4(a-3)}{5}$**