Реши уравнение (x-2)/(x+3) - 30/(x^2-9) = 1/6

Привет! Давай решим это уравнение вместе. Сначала я приведу дроби к общему знаменателю, а затем решу получившееся уравнение: $$\frac{x-2}{x+3} - \frac{30}{x^2-9} = \frac{1}{6}$$ Заметим, что $x^2 - 9$ это разность квадратов, которую можно разложить на $(x+3)(x-3)$. Значит, общий знаменатель будет $6(x+3)(x-3)$. Приводим к общему знаменателю: $$\frac{6(x-2)(x-3)}{6(x+3)(x-3)} - \frac{6 \cdot 30}{6(x+3)(x-3)} = \frac{(x+3)(x-3)}{6(x+3)(x-3)}$$ Теперь можно избавиться от знаменателя, так как он одинаковый с обеих сторон. Получим уравнение: $$6(x-2)(x-3) - 180 = (x+3)(x-3)$$ Раскрываем скобки: $$6(x^2 - 5x + 6) - 180 = x^2 - 9$$ $$6x^2 - 30x + 36 - 180 = x^2 - 9$$ $$6x^2 - 30x - 144 = x^2 - 9$$ Переносим все в левую часть: $$5x^2 - 30x - 135 = 0$$ Делим все уравнение на 5, чтобы упростить: $$x^2 - 6x - 27 = 0$$ Теперь можно решить квадратное уравнение. Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$. В нашем случае $a = 1$, $b = -6$, и $c = -27$. $$x = \frac{6 \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-27)}}{2 \cdot 1}$$ $$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 108}}{2}$$ $$x = \frac{6 \pm \sqrt{144}}{2}$$ $$x = \frac{6 \pm 12}{2}$$ Получаем два корня: $$x_1 = \frac{6 + 12}{2} = \frac{18}{2} = 9$$ $$x_2 = \frac{6 - 12}{2} = \frac{-6}{2} = -3$$ Теперь нужно проверить корни, чтобы убедиться, что они не обращают знаменатель в ноль. Если $x = -3$, то в исходном уравнении будут деления на ноль, что недопустимо. Значит, $x = -3$ не является решением. Таким образом, остается только один корень: $x = 9$. **Ответ: x = 9**