Можешь ли ты выполнить деление дробей: 1а, 1б, 2а, 2б, 3а, 3б, 1д, 2а, 2б, 3а, 3б, доказать тождество, упростить выражение?

1 а) Давай упростим выражение $\frac{2x^2}{y} : \frac{x}{y^2}$. Когда мы делим дроби, это то же самое, что умножить на перевернутую вторую дробь. Получаем: $\frac{2x^2}{y} \cdot \frac{y^2}{x} = 2x^{2-1}y^{2-1} = 2xy$. б) Разберемся с $-\frac{3a}{b^2} : \frac{12a^2}{b^3}$. Опять же, деление заменяем умножением на перевернутую дробь: $-\frac{3a}{b^2} \cdot \frac{b^3}{12a^2} = -\frac{3}{12} \cdot \frac{a}{a^2} \cdot \frac{b^3}{b^2} = -\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{a} \cdot b = -\frac{b}{4a}$. 2 a) Выражение $\frac{a^2 - b^2}{a - 3b} : \frac{ab + b^2}{2a - 6b}$ можно упростить, если разложить на множители: $\frac{(a - b)(a + b)}{a - 3b} : \frac{b(a + b)}{2(a - 3b)}$. Теперь заменяем деление умножением на перевернутую дробь: $\frac{(a - b)(a + b)}{a - 3b} \cdot \frac{2(a - 3b)}{b(a + b)} = \frac{2(a - b)}{b}$. б) $\frac{5x - 25}{3y + 5} : \frac{x^2 - 25}{6y + 10}$. Раскладываем на множители: $\frac{5(x - 5)}{3y + 5} : \frac{(x - 5)(x + 5)}{2(3y + 5)}$. Заменяем деление умножением на перевернутую дробь: $\frac{5(x - 5)}{3y + 5} \cdot \frac{2(3y + 5)}{(x - 5)(x + 5)} = \frac{10}{x + 5}$. 3 a) $\frac{9 + 6y - 4y^2}{2y - 1} : \frac{27 - 8y^3}{4y^2 - 1}$. Тут нужно заметить, что $9 + 6y - 4y^2 = -(4y^2 - 6y - 9)$ и $27 - 8y^3 = (3 - 2y)(9 + 6y + 4y^2)$, а $4y^2 - 1 = (2y - 1)(2y + 1)$. Тогда: $\frac{-(4y^2 - 6y - 9)}{2y - 1} : \frac{(3 - 2y)(9 + 6y + 4y^2)}{(2y - 1)(2y + 1)}$. Заменим деление умножением на перевернутую дробь: $\frac{-(4y^2 - 6y - 9)}{2y - 1} \cdot \frac{(2y - 1)(2y + 1)}{(3 - 2y)(9 + 6y + 4y^2)} = \frac{-(2y + 1)}{9 + 6y + 4y^2}$. б) $\frac{8 + p^3}{16 - p^4} : \frac{p^2 - 2p - 4}{p^2 + 4}$. Раскладываем на множители: $\frac{(2 + p)(4 - 2p + p^2)}{(4 - p^2)(4 + p^2)} : \frac{p^2 - 2p - 4}{p^2 + 4}$. Заменим деление умножением на перевернутую дробь: $\frac{(2 + p)(4 - 2p + p^2)}{(2 - p)(2 + p)(4 + p^2)} \cdot \frac{p^2 + 4}{p^2 - 2p - 4} = \frac{4 - 2p + p^2}{(2 - p)(p^2 - 2p - 4)}$. д) $\frac{7x^3}{y^2} : (14x^2) = \frac{7x^3}{y^2} \cdot \frac{1}{14x^2} = \frac{x}{2y^2}$. 2 a) $\left(\frac{x}{4}\right)^2 : \left(\frac{x}{2}\right)^3 = \frac{x^2}{16} : \frac{x^3}{8} = \frac{x^2}{16} \cdot \frac{8}{x^3} = \frac{1}{2x}$. б) $\frac{(a - 2b)^3}{(2a - b)^3} : \frac{a^2 - 4ab + 4b^2}{4a^2 - 4ab + b^2} = \frac{(a - 2b)^3}{(2a - b)^3} : \frac{(a - 2b)^2}{(2a - b)^2} = \frac{a - 2b}{2a - b}$. 3 a) $\frac{3x^2}{2y^2z^2} : \frac{6y^3}{7z^6} : \frac{9xy}{14z^2} = \frac{3x^2}{2y^2z^2} \cdot \frac{7z^6}{6y^3} \cdot \frac{14z^2}{9xy} = \frac{3 \cdot 7 \cdot 14}{2 \cdot 6 \cdot 9} \cdot \frac{x^2}{x} \cdot \frac{z^6 \cdot z^2}{y^2 \cdot y^3 \cdot z^2} = \frac{49}{9} \cdot \frac{x}{y^5} \cdot z^6 = \frac{49xz^6}{9y^5}$. б) $\frac{216a^5}{343b^3} : \frac{18a^8}{49b^4} : \frac{7a^3}{4b^2} = \frac{216a^5}{343b^3} \cdot \frac{49b^4}{18a^8} \cdot \frac{4b^2}{7a^3} = \frac{216 \cdot 49 \cdot 4}{343 \cdot 18 \cdot 7} \cdot \frac{a^5 \cdot b^4 \cdot b^2}{a^8 \cdot a^3 \cdot b^3} = \frac{16}{7} \cdot \frac{b^3}{a^6} = \frac{16b^3}{7a^6}$. 4. Докажем тождество $\left( \frac{x^2 - 10x + 25}{x^2 - 25} \right)^3 : \left( \frac{x - 5}{x + 5} \right)^3 = 1$. $\left( \frac{(x - 5)^2}{(x - 5)(x + 5)} \right)^3 : \left( \frac{x - 5}{x + 5} \right)^3 = \left( \frac{x - 5}{x + 5} \right)^3 : \left( \frac{x - 5}{x + 5} \right)^3 = 1$. 5. При каких целых n значение выражения $\frac{(n - 2)^2}{n^2}$ является целым числом? $\frac{(n - 2)^2}{n^2} = \frac{n^2 - 4n + 4}{n^2} = 1 - \frac{4n - 4}{n^2}$. Чтобы выражение было целым, нужно, чтобы $\frac{4n - 4}{n^2}$ было целым. Это возможно при $n = 1$ и $n = 2$. 6. Упростим выражение $\frac{0.2y + 1.6}{0.2y^2 + y + 5} : \frac{0.5y^2 - 32}{0.5y^3 + 62.5}$. $\frac{0.2(y + 8)}{0.2(y^2 + 5y + 25)} : \frac{0.5(y^2 - 64)}{0.5(y^3 + 125)} = \frac{y + 8}{y^2 + 5y + 25} : \frac{(y - 8)(y + 8)}{(y + 5)(y^2 - 5y + 25)} = \frac{y + 8}{y^2 + 5y + 25} \cdot \frac{(y + 5)(y^2 - 5y + 25)}{(y - 8)(y + 8)} = \frac{y + 5}{y - 8}$.