Можешь помочь мне выполнить деление дробей, представить в виде дроби, упростить выражение и доказать тождество из задания 1a?

Задание 1. 1) a) Давай вспомним, что деление дробей - это то же самое, что умножение на перевернутую дробь. Значит, $$\frac{2x^2}{y} : \frac{x}{y^2} = \frac{2x^2}{y} \cdot \frac{y^2}{x}$$. Теперь сокращаем: $x$ в числителе и знаменателе, $y$ тоже. Получается: $$2x \cdot y = 2xy$$. б) Тут у нас $$\frac{3a}{b^2} : \frac{12a^2}{b^3} = \frac{3a}{b^2} \cdot \frac{b^3}{12a^2}$$. Сокращаем $3$ и $12$, $a$ и $a^2$, $b^2$ и $b^3$. Остается $$\frac{b}{4a}$$. в) Снова деление: $$\frac{4a}{5b} : \frac{2a^2}{15b^2} = \frac{4a}{5b} \cdot \frac{15b^2}{2a^2}$$. Сокращаем $4$ и $2$, $5$ и $15$, $a$ и $a^2$, $b$ и $b^2$. Получается $$6 \cdot \frac{b}{a} = \frac{6b}{a}$$. г) $$\frac{10a^2}{5a} : \frac{5a}{b} = \frac{10a^2}{5a} \cdot \frac{b}{5a}$$. Сокращаем $10$ и $5$, $a^2$ и $a$, остается $$2a \cdot \frac{b}{5a} = \frac{2b}{5}$$. д) $$\frac{7x^3}{y^2} : (14x^2) = \frac{7x^3}{y^2} \cdot \frac{1}{14x^2}$$. Сокращаем $7$ и $14$, $x^3$ и $x^2$. Получаем $$\frac{x}{2y^2}$$. 2) a) Сначала разложим на множители числитель первой дроби и знаменатель второй дроби: $$\frac{a^2 - b^2}{a - 3b} : \frac{ab + b^2}{2a - 6b} = \frac{(a - b)(a + b)}{a - 3b} : \frac{b(a + b)}{2(a - 3b)}$$. Теперь деление заменяем умножением на перевернутую дробь: $$\frac{(a - b)(a + b)}{a - 3b} \cdot \frac{2(a - 3b)}{b(a + b)}$$. Видим, что $(a + b)$ и $(a - 3b)$ можно сократить. Остается $$\frac{2(a - b)}{b}$$. б) Разложим на множители: $$\frac{5x - 25}{3y + 5} : \frac{x^2 - 25}{6y + 10} = \frac{5(x - 5)}{3y + 5} : \frac{(x - 5)(x + 5)}{2(3y + 5)}$$. Заменим деление умножением на перевернутую дробь: $$\frac{5(x - 5)}{3y + 5} \cdot \frac{2(3y + 5)}{(x - 5)(x + 5)}$$. Сокращаем $(x - 5)$ и $(3y + 5)$. Получаем $$\frac{10}{x + 5}$$. в) Здесь нужно быть внимательным: $$\frac{k - 4}{k - 4} : \frac{k^2 - 8k + 16}{k^2 - 16} = \frac{k - 4}{k - 4} : \frac{(k - 4)^2}{(k - 4)(k + 4)}$$. После сокращения первой дроби остается $1$. Заменим деление умножением: $$1 \cdot \frac{(k - 4)(k + 4)}{(k - 4)^2}$$. Сокращаем $(k-4)$ и получаем $$\frac{k + 4}{k - 4}$$. г) Разложим на множители: $$\frac{c + d}{3 - 2c} : \frac{c^2 + 2cd + d^2}{2c^2 - 3c} = \frac{c + d}{3 - 2c} : \frac{(c + d)^2}{c(2c - 3)}$$. Заменим деление умножением на перевернутую дробь: $$\frac{c + d}{3 - 2c} \cdot \frac{c(2c - 3)}{(c + d)^2}$$. Заметим, что $(3 - 2c) = -(2c - 3)$, тогда $$\frac{c + d}{3 - 2c} \cdot \frac{c(2c - 3)}{(c + d)^2} = - \frac{c}{c + d}$$. 3) a) $$\frac{9 + 6y - 4y^2}{2y - 1} : \frac{27 - 8y^3}{4y^2 - 1} = \frac{9 + 6y - 4y^2}{2y - 1} : \frac{(3 - 2y)(9 + 6y + 4y^2)}{(2y - 1)(2y + 1)}$$. Меняем деление на умножение: $$\frac{9 + 6y - 4y^2}{2y - 1} \cdot \frac{(2y - 1)(2y + 1)}{(3 - 2y)(9 + 6y + 4y^2)}$$. Тут сложно что-то сократить, нужно внимательно смотреть. Заметим, что $9 + 6y - 4y^2 = -(3-2y)(3 + 2y)$, тогда получим: $$-\frac{(3+2y)(3 - 2y)}{2y - 1} \cdot \frac{(2y - 1)(2y + 1)}{(3 - 2y)(9 + 6y + 4y^2)}$$. Теперь сокращаем и получаем: $$-\frac{(3+2y)(2y + 1)}{9 + 6y + 4y^2}$$. б) $$\frac{8 + p^3}{16 - p^4} : \frac{p^2 - 2p - 4}{p^2 + 4} = \frac{(2 + p)(4 - 2p + p^2)}{(4 - p^2)(4 + p^2)} : \frac{p^2 - 2p - 4}{p^2 + 4}$$. Меняем деление на умножение: $$\frac{(2 + p)(4 - 2p + p^2)}{(4 - p^2)(4 + p^2)} \cdot \frac{p^2 + 4}{p^2 - 2p - 4}$$. Сокращаем $(4 + p^2)$. Получаем $$\frac{(2 + p)(4 - 2p + p^2)}{(4 - p^2)(p^2 - 2p - 4)}$$. 2. Представьте в виде дроби: a) $$(\frac{x}{4})^2 : (\frac{x}{2})^3 = \frac{x^2}{16} : \frac{x^3}{8} = \frac{x^2}{16} \cdot \frac{8}{x^3} = \frac{8x^2}{16x^3} = \frac{1}{2x}$$. б) $$\frac{(a - 2b)^3}{(2a - b)^3} : \frac{a^2 - 4ab + 4b^2}{4a^2 - 4ab + b^2} = \frac{(a - 2b)^3}{(2a - b)^3} : \frac{(a - 2b)^2}{(2a - b)^2} = \frac{(a - 2b)^3}{(2a - b)^3} \cdot \frac{(2a - b)^2}{(a - 2b)^2} = \frac{a - 2b}{2a - b}$$. 3. Упростите выражение: a) $$\frac{3x^2}{2y^2z^2} : \frac{6y^3}{7z^6} : \frac{9xy}{14z^2} = \frac{3x^2}{2y^2z^2} \cdot \frac{7z^6}{6y^3} \cdot \frac{14z^2}{9xy} = \frac{3 \cdot 7 \cdot 14 \cdot x^2 \cdot z^6 \cdot z^2}{2 \cdot 6 \cdot 9 \cdot y^2 \cdot y^3 \cdot z^2 \cdot x \cdot y} = \frac{49xz^5}{9y^6}$$. б) $$\frac{216a^5}{343b^3} : \frac{18a^8}{49b^4} : \frac{7a^3}{4b^2} = \frac{216a^5}{343b^3} \cdot \frac{49b^4}{18a^8} \cdot \frac{4b^2}{7a^3} = \frac{216 \cdot 49 \cdot 4 \cdot a^5 \cdot b^4 \cdot b^2}{343 \cdot 18 \cdot 7 \cdot b^3 \cdot a^8 \cdot a^3} = \frac{24b^3}{49a^6}$$. 4. Докажите тождество $$\left( \frac{x^2 - 10x + 25}{x^2 - 25} \right)^3 : \left( \frac{x - 5}{x + 5} \right)^3 = 1$$. Преобразуем выражение в скобках: $$\left( \frac{(x - 5)^2}{(x - 5)(x + 5)} \right)^3 : \left( \frac{x - 5}{x + 5} \right)^3 = \left( \frac{x - 5}{x + 5} \right)^3 : \left( \frac{x - 5}{x + 5} \right)^3 = 1$$. 5. При каких целых $n$ значение выражения $\frac{(n - 2)^2}{n^2}$ является целым числом? Разложим выражение: $$\frac{(n - 2)^2}{n^2} = \frac{n^2 - 4n + 4}{n^2} = 1 - \frac{4n - 4}{n^2}$$. Для того, чтобы выражение было целым числом, необходимо, чтобы $\frac{4n - 4}{n^2}$ было целым числом. Это возможно только при небольших значениях $n$. Например, если $n = 1$, то $\frac{4 \cdot 1 - 4}{1^2} = 0$, и выражение равно $1 - 0 = 1$, что является целым числом. Если $n = 2$, то $\frac{4 \cdot 2 - 4}{2^2} = \frac{4}{4} = 1$, и выражение равно $1 - 1 = 0$, что тоже целое число. 6. Упростите выражение $$\frac{0.2y + 1.6}{0.2y^2 + y + 5} : \frac{0.5y^2 - 32}{0.5y^3 - 62.5}$$. Разложим на множители: $$\frac{0.2(y + 8)}{0.2(y^2 + 5y + 25)} : \frac{0.5(y^2 - 64)}{0.5(y^3 - 125)} = \frac{0.2(y + 8)}{0.2(y^2 + 5y + 25)} : \frac{0.5(y - 8)(y + 8)}{0.5(y - 5)(y^2 + 5y + 25)} = \frac{y + 8}{y^2 + 5y + 25} \cdot \frac{(y - 5)(y^2 + 5y + 25)}{(y - 8)(y + 8)} = \frac{y - 5}{y - 8}$$.