Можешь доказать, что если векторы AB и CD равны, то середины отрезков AD и BC совпадают?

750. Давай докажем это утверждение. Представим, что у нас есть векторы $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$, которые равны. Это значит, что они имеют одинаковую длину и направление. Пусть $E$ и $F$ — середины отрезков $AD$ и $BC$ соответственно. Чтобы доказать, что $E$ и $F$ совпадают, нужно показать, что вектор $\vec{EF}$ равен нулю. $\vec{EF} = \vec{EA} + \vec{AB} + \vec{BF}$ Так как $E$ и $F$ — середины, то $\vec{EA} = -\frac{1}{2} \vec{DA}$ и $\vec{BF} = \frac{1}{2} \vec{BC}$. Подставим это в уравнение: $\vec{EF} = -\frac{1}{2} \vec{DA} + \vec{AB} + \frac{1}{2} \vec{BC}$ Теперь вспомним, что $\vec{AB} = \vec{DC}$, значит: $\vec{EF} = -\frac{1}{2} \vec{DA} + \vec{DC} + \frac{1}{2} \vec{BC}$ Преобразуем: $\vec{EF} = \frac{1}{2} (-\vec{DA} + 2\vec{DC} + \vec{BC}) = \frac{1}{2} (\vec{AD} + \vec{BC})$ Поскольку $\vec{AD} = -\vec{DA}$ и $\vec{BC} = -\vec{CB}$, получаем: $\vec{EF} = \frac{1}{2} (\vec{AD} + \vec{BC})$ Так как $\vec{AB} = \vec{CD}$, то $\vec{AD} = \vec{BC}$, и значит: $\vec{EF} = \frac{1}{2} (\vec{AD} - \vec{AD}) = 0$ Итак, вектор $\vec{EF}$ равен нулю, следовательно, точки $E$ и $F$ совпадают. Обратное утверждение доказывается аналогично. 751. a) Если $AB = DC$ и $|AB| = |BC|$, то $ABCD$ — параллелограмм, у которого смежные стороны равны. Значит, это ромб. б) Если $AB \uparrow\uparrow DC$, а векторы $\vec{AD}$ и $\vec{BC}$ неколлинеарны, то $ABCD$ — трапеция. 752. a) Неверно. Если $\vec{a} = \vec{b}$, то векторы сонаправлены, но не обязательно коллинеарны. б) Верно. Если $\vec{a} = \vec{b}$, то векторы коллинеарны и сонаправлены. в) Верно. Если $\vec{a} = \vec{b}$, то векторы сонаправлены. г) Неверно. Если $\vec{a} \uparrow\uparrow \vec{b}$, то $\vec{a} = \vec{b}$ только при условии, что их длины равны. д) Неверно. Если $\vec{a} = 0$, то вектор $\vec{a}$ не может быть коллинеарным вектору $\vec{b}$.