Можешь ли ты доказать, что если векторы АВ и CD равны, то середины отрезков AD и ВС совпадают?

750. Давай докажем это утверждение. Представим, что у нас есть векторы $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$, которые равны. Это значит, что они имеют одинаковую длину и направление. Пусть $E$ - середина отрезка $AD$, а $F$ - середина отрезка $BC$. Нужно доказать, что если середины отрезков $AD$ и $BC$ совпадают, то есть $E$ и $F$ - это одна и та же точка, то $\vec{AB} = \vec{CD}$. $\vec{AE} = \frac{1}{2} \vec{AD}$ и $\vec{BF} = \frac{1}{2} \vec{BC}$. Так как $E$ и $F$ совпадают, то $\vec{AE} = \vec{BF}$. Следовательно, $\frac{1}{2} \vec{AD} = \frac{1}{2} \vec{BC}$, а значит, $\vec{AD} = \vec{BC}$. Теперь рассмотрим четырёхугольник $ABDC$. В нём $\vec{AD} = \vec{BC}$, то есть эти стороны параллельны и равны. Значит, $ABDC$ — параллелограмм, и $\vec{AB} = \vec{CD}$, что и требовалось доказать. 751. a) Если $\vec{AB} = \vec{DC}$ и $|AB| = |BC|$, то четырёхугольник $ABCD$ — параллелограмм с равными сторонами $AB$ и $BC$. Значит, это ромб. б) Если $AB \uparrow\uparrow DC$, а векторы $\vec{AD}$ и $\vec{BC}$ не коллинеарны, то это трапеция. 752. a) Неверно. Если $\vec{a} = \vec{b}$, то векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ сонаправлены, но не обязательно коллинеарны. Они коллинеарны, только если лежат на одной прямой или на параллельных прямых. б) Верно. Если $\vec{a} = \vec{b}$, то векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны и сонаправлены. в) Верно. Если $\vec{a} = -\vec{b}$, то векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны и противоположно направлены. г) Неверно. Если $\vec{a} \uparrow\uparrow \vec{b}$, то $\vec{a} = \vec{b}$ только в случае, когда они имеют одинаковую длину. Если $\vec{a}$ нулевой, то $\vec{b}$ тоже должен быть нулевым, чтобы равенство выполнялось. д) Неверно. Если $\vec{a} = \vec{0}$, то $\vec{a}$ не может быть коллинеарен $\vec{b}$, так как нулевой вектор не имеет направления.