Ты просишь упростить выражение (x³ + y³)/(x + y) : (x² - y²) + (2y)/(x + y) - (xy)/(x²-y²)

Question

Вопрос:

Ты просишь упростить выражение (x³ + y³)/(x + y) : (x² - y²) + (2y)/(x + y) - (xy)/(x²-y²)

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

Привет! Давай упростим это выражение вместе. Сначала вспомним формулу суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$. Используем её для числителя первой дроби: $$\frac{x^3 + y^3}{x + y} = \frac{(x + y)(x^2 - xy + y^2)}{x + y} = x^2 - xy + y^2$$ Теперь рассмотрим деление на $(x^2 - y^2)$. Деление можно заменить умножением на обратную дробь: $$(x^2 - xy + y^2) : (x^2 - y^2) = (x^2 - xy + y^2) \cdot \frac{1}{x^2 - y^2}$$ Вспомним формулу разности квадратов: $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$. Тогда: $$(x^2 - xy + y^2) \cdot \frac{1}{(x - y)(x + y)} = \frac{x^2 - xy + y^2}{(x - y)(x + y)}$$ Далее у нас есть сложение с $\frac{2y}{x + y}$. Чтобы сложить дроби, нужно привести их к общему знаменателю. В данном случае, общим знаменателем будет $(x - y)(x + y)$. $$\frac{x^2 - xy + y^2}{(x - y)(x + y)} + \frac{2y}{x + y} = \frac{x^2 - xy + y^2 + 2y(x - y)}{(x - y)(x + y)}$$ Упростим числитель: $$x^2 - xy + y^2 + 2xy - 2y^2 = x^2 + xy - y^2$$ Теперь вычтем $\frac{xy}{x^2 - y^2}$. Снова приведём к общему знаменателю: $$\frac{x^2 + xy - y^2}{(x - y)(x + y)} - \frac{xy}{(x - y)(x + y)} = \frac{x^2 + xy - y^2 - xy}{(x - y)(x + y)} = \frac{x^2 - y^2}{(x - y)(x + y)}$$ Используем формулу разности квадратов ещё раз: $$\frac{x^2 - y^2}{(x - y)(x + y)} = \frac{(x - y)(x + y)}{(x - y)(x + y)} = 1$$ **Ответ: 1**

Ты просишь упростить выражение (x³ + y³)/(x + y) : (x² - y²) + (2y)/(x + y) - (xy)/(x²-y²)

Ответ ассистента

Другие решения