Помоги мне найти значения дроби, чему равно значение дроби, перечертить таблицу и заполнить её, выразить переменные из формулы, указать допустимые значения, определить область определения функций и определить знаки дробей.

4. Давай найдём значения дробей! a) Подставим $a = -2$ в дробь $\frac{a-8}{2a+5}$: $$\frac{-2-8}{2 \cdot (-2)+5} = \frac{-10}{-4+5} = \frac{-10}{1} = -10$$ б) Подставим $b = 3$ в дробь $\frac{b^2+6}{2b}$: $$\frac{3^2+6}{2 \cdot 3} = \frac{9+6}{6} = \frac{15}{6} = \frac{5}{2} = 2,5$$ 5. Сейчас узнаем, чему равно значение дроби $\frac{(a+b)^2 - 1}{a^2+1}$ при разных значениях $a$ и $b$! a) Подставим $a = -3$ и $b = -1$: $$\frac{(-3+(-1))^2 - 1}{(-3)^2+1} = \frac{(-4)^2 - 1}{9+1} = \frac{16 - 1}{10} = \frac{15}{10} = 1,5$$ б) Подставим $a = 1\frac{1}{2} = 1,5$ и $b = 0,5$: $$\frac{(1,5+0,5)^2 - 1}{(1,5)^2+1} = \frac{(2)^2 - 1}{2,25+1} = \frac{4 - 1}{3,25} = \frac{3}{3,25} = \frac{3}{\frac{13}{4}} = \frac{3 \cdot 4}{13} = \frac{12}{13}$$ 6. Тебе нужно перечертить таблицу в тетрадь и заполнить её. Для каждого значения $x$ посчитай значение выражения $\frac{x+5}{x-3}$. Вот как это будет выглядеть: * Если $x = -13$, то $\frac{-13+5}{-13-3} = \frac{-8}{-16} = \frac{1}{2} = 0,5$ * Если $x = -5$, то $\frac{-5+5}{-5-3} = \frac{0}{-8} = 0$ * Если $x = -0,2$, то $\frac{-0,2+5}{-0,2-3} = \frac{4,8}{-3,2} = -1,5$ * Если $x = 0$, то $\frac{0+5}{0-3} = \frac{5}{-3} = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3}$ * Если $x = \frac{1}{17}$, то $\frac{\frac{1}{17}+5}{\frac{1}{17}-3} = \frac{\frac{1+85}{17}}{\frac{1-51}{17}} = \frac{\frac{86}{17}}{\frac{-50}{17}} = \frac{86}{-50} = -\frac{43}{25} = -1,72$ * Если $x = 1$, то $\frac{1+5}{1-3} = \frac{6}{-2} = -3$ * Если $x = 5\frac{2}{3} = \frac{17}{3}$, то $\frac{\frac{17}{3}+5}{\frac{17}{3}-3} = \frac{\frac{17+15}{3}}{\frac{17-9}{3}} = \frac{\frac{32}{3}}{\frac{8}{3}} = \frac{32}{8} = 4$ * Если $x = 7$, то $\frac{7+5}{7-3} = \frac{12}{4} = 3$ 7. Сейчас выразим переменные из формулы $u = \frac{s}{t}$. a) Чтобы выразить $s$, умножим обе части уравнения на $t$: $$u \cdot t = \frac{s}{t} \cdot t$$ $$s = u \cdot t$$ б) Чтобы выразить $t$, сначала умножим обе части на $t$: $$u \cdot t = \frac{s}{t} \cdot t$$ $$u \cdot t = s$$ Теперь разделим обе части на $u$: $$t = \frac{s}{u}$$ 8. Сейчас выразим переменную $V$ из формулы $p = \frac{m}{V}$. Чтобы выразить $V$, сначала умножим обе части на $V$: $$p \cdot V = \frac{m}{V} \cdot V$$ $$p \cdot V = m$$ Теперь разделим обе части на $p$: $$V = \frac{m}{p}$$ 11. Сейчас укажем допустимые значения для выражений. Это такие значения переменных, при которых выражение имеет смысл. a) $x^2 - 8x + 9$. Здесь нет деления на переменную, поэтому $x$ может быть любым числом. в) $\frac{3x-6}{7}$. Здесь тоже нет деления на переменную, поэтому $x$ может быть любым числом. б) $\frac{1}{6x-3}$. Здесь есть деление на выражение с $x$, поэтому нужно исключить те значения $x$, при которых знаменатель равен нулю: $$6x - 3 = 0$$ $$6x = 3$$ $$x = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} = 0,5$$ Значит, $x$ не может быть равен $0,5$. г) $\frac{4x(x+1)}{x^2-8}$. Здесь тоже есть деление на выражение с $x$, поэтому нужно исключить те значения $x$, при которых знаменатель равен нулю: $$x^2 - 8 = 0$$ $$x^2 = 8$$ $$x = \pm \sqrt{8}$$ Значит, $x$ не может быть равен $\sqrt{8}$ и $-\sqrt{8}$. 12. Сейчас найдём допустимые значения переменных в дробях. Помни, что знаменатель не может быть равен нулю. a) $\frac{5y-8}{11}$. Знаменатель равен $11$, значит, $y$ может быть любым числом. б) $\frac{25}{y-9}$. Знаменатель равен $y-9$, значит, $y$ не может быть равен $9$. в) $\frac{y^2+1}{y^2-4}$. Знаменатель равен $y^2-4$, значит, $y^2-4$ не может быть равен $0$: $$y^2 - 4 = 0$$ $$y^2 = 4$$ $$y = \pm 2$$ Значит, $y$ не может быть равен $2$ и $-2$. г) $\frac{y-1}{y^2+4}$. Знаменатель равен $y^2+4$. Так как $y^2$ всегда неотрицателен, то $y^2+4$ всегда больше $0$. Значит, $y$ может быть любым числом. 13. Сейчас определим область определения функций. Это такие значения $x$, при которых функция имеет смысл. a) $y = \frac{1}{x-2}$. Знаменатель не может быть равен $0$, значит, $x-2$ не может быть равен $0$: $$x - 2 = 0$$ $$x = 2$$ Значит, $x$ не может быть равен $2$. б) $y = \frac{2x}{x(x+1)}$. Знаменатель не может быть равен $0$, значит, $x(x+1)$ не может быть равен $0$: $$x(x+1) = 0$$ Значит, $x = 0$ или $x = -1$. Значит, $x$ не может быть равен $0$ и $-1$. 14. Сейчас узнаем, при каком значении переменной дробь $\frac{y-5}{8}$ равна $0$. Дробь равна $0$, когда числитель равен $0$: $$y - 5 = 0$$ $$y = 5$$ **Ответ: при $y = 5$** 15. Сейчас найдём значения переменной, при которых дробь $\frac{2y+3}{10}$ имеет отрицательное значение. Дробь отрицательна, когда числитель и знаменатель имеют разные знаки. Знаменатель у нас положительный (10), значит, числитель должен быть отрицательным: $$2y + 3 < 0$$ $$2y < -3$$ $$y < -\frac{3}{2}$$ $$y < -1,5$$ **Ответ: при $y < -1,5$** 16. Сейчас найдём значения переменной, при которых дробь $\frac{m+4}{6}$ имеет положительное значение. Дробь положительна, когда числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки. Знаменатель у нас положительный (6), значит, числитель должен быть положительным: $$m + 4 > 0$$ $$m > -4$$ **Ответ: при $m > -4$** Сейчас определим знаки дробей. 17. а) Если $a > 0$ и $b > 0$, то дробь $\frac{a}{b}$ положительна. б) Если $a > 0$ и $b < 0$, то дробь $\frac{a}{b}$ отрицательна.