Ты просишь найти значения m и n, если середина отрезка AB лежит на оси Ox, для случаев: a) A (-3; m; 5), B(2; −2; n).

Привет! Давай разберёмся с этой задачей. **Что нужно сделать:** Найти значения $m$ и $n$, при которых середина отрезка $AB$ лежит на оси $Ox$. Это значит, что координаты $y$ и $z$ середины отрезка должны быть равны нулю. **Напоминание:** Координаты середины отрезка находятся как среднее арифметическое координат концов отрезка. Если у нас есть точки $A(x_1; y_1; z_1)$ и $B(x_2; y_2; z_2)$, то середина отрезка $AB$ будет иметь координаты $\left(\frac{x_1 + x_2}{2}; \frac{y_1 + y_2}{2}; \frac{z_1 + z_2}{2}\right)$. Теперь решим задачу для каждого случая: **a) $A(-3; m; 5), B(2; -2; n)$** Середина отрезка $AB$: $\left(\frac{-3 + 2}{2}; \frac{m + (-2)}{2}; \frac{5 + n}{2}\right) = \left(-\frac{1}{2}; \frac{m - 2}{2}; \frac{5 + n}{2}\right)$. Чтобы середина лежала на оси $Ox$, её координаты $y$ и $z$ должны быть равны нулю: $$\begin{cases} \frac{m - 2}{2} = 0 \\ \frac{5 + n}{2} = 0 \end{cases}$$ Решаем систему уравнений: $$\begin{cases} m - 2 = 0 \\ 5 + n = 0 \end{cases}$$ $$\begin{cases} m = 2 \\ n = -5 \end{cases}$$ **Ответ: $m = 2, n = -5$** **б) $A(1; 0,5; -4), B(1; m; 2n)$** Середина отрезка $AB$: $\left(\frac{1 + 1}{2}; \frac{0,5 + m}{2}; \frac{-4 + 2n}{2}\right) = \left(1; \frac{0,5 + m}{2}; \frac{-4 + 2n}{2}\right)$. Чтобы середина лежала на оси $Ox$, её координаты $y$ и $z$ должны быть равны нулю: $$\begin{cases} \frac{0,5 + m}{2} = 0 \\ \frac{-4 + 2n}{2} = 0 \end{cases}$$ Решаем систему уравнений: $$\begin{cases} 0,5 + m = 0 \\ -4 + 2n = 0 \end{cases}$$ $$\begin{cases} m = -0,5 \\ 2n = 4 \end{cases}$$ $$\begin{cases} m = -0,5 \\ n = 2 \end{cases}$$ **Ответ: $m = -0,5, n = 2$** **в) $A(0; m; n + 1), B(1; n; -m + 1)$** Середина отрезка $AB$: $\left(\frac{0 + 1}{2}; \frac{m + n}{2}; \frac{n + 1 + (-m + 1)}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}; \frac{m + n}{2}; \frac{n - m + 2}{2}\right)$. Чтобы середина лежала на оси $Ox$, её координаты $y$ и $z$ должны быть равны нулю: $$\begin{cases} \frac{m + n}{2} = 0 \\ \frac{n - m + 2}{2} = 0 \end{cases}$$ Решаем систему уравнений: $$\begin{cases} m + n = 0 \\ n - m + 2 = 0 \end{cases}$$ Из первого уравнения выражаем $m = -n$ и подставляем во второе уравнение: $$n - (-n) + 2 = 0$$ $$2n + 2 = 0$$ $$2n = -2$$ $$n = -1$$ Тогда $m = -(-1) = 1$. **Ответ: $m = 1, n = -1$** **г) $A(7; 2m + n; -n), B(-5; -3; m - 3)$** Середина отрезка $AB$: $\left(\frac{7 + (-5)}{2}; \frac{2m + n + (-3)}{2}; \frac{-n + m - 3}{2}\right) = \left(1; \frac{2m + n - 3}{2}; \frac{m - n - 3}{2}\right)$. Чтобы середина лежала на оси $Ox$, её координаты $y$ и $z$ должны быть равны нулю: $$\begin{cases} \frac{2m + n - 3}{2} = 0 \\ \frac{m - n - 3}{2} = 0 \end{cases}$$ Решаем систему уравнений: $$\begin{cases} 2m + n - 3 = 0 \\ m - n - 3 = 0 \end{cases}$$ Сложим два уравнения, чтобы избавиться от $n$: $$(2m + n - 3) + (m - n - 3) = 0$$ $$3m - 6 = 0$$ $$3m = 6$$ $$m = 2$$ Подставим $m = 2$ во второе уравнение: $$2 - n - 3 = 0$$ $$-n - 1 = 0$$ $$n = -1$$ **Ответ: $m = 2, n = -1$**