Объясни, пожалуйста, как решить неравенство 2a² - 8a + 16 > 0

Конечно, давай разберемся с этими неравенствами! 1) $2a^2 - 8a + 16 > 0$ * Для начала, можно заметить, что можно вынести 2 за скобки: $2(a^2 - 4a + 8) > 0$. * Теперь посмотрим на выражение в скобках. Это почти полный квадрат! $(a-2)^2 = a^2 - 4a + 4$. Значит, $a^2 - 4a + 8 = (a-2)^2 + 4$. * Получается $2((a-2)^2 + 4) > 0$. Так как $(a-2)^2$ всегда больше или равно нулю, то $(a-2)^2 + 4$ всегда больше нуля. Значит, это неравенство верно при любом $a$! 2) $4b^2 + 4b + 3 > 0$ * Тут тоже можно попробовать выделить полный квадрат. Заметим, что $(2b + 1)^2 = 4b^2 + 4b + 1$. * Тогда $4b^2 + 4b + 3 = (2b + 1)^2 + 2$. * Получается $(2b + 1)^2 + 2 > 0$. Квадрат всегда неотрицателен, значит, это неравенство тоже верно при любом $b$! 3) $a^2 + ab + b^2 ≥ 0$ * Это выражение можно преобразовать, умножив на 2 и поделив на 2: $\frac{1}{2}(2a^2 + 2ab + 2b^2) ≥ 0$. * Теперь представим это как $\frac{1}{2}(a^2 + 2ab + b^2 + a^2 + b^2) ≥ 0$. * В скобках видим полный квадрат: $\frac{1}{2}((a + b)^2 + a^2 + b^2) ≥ 0$. * Сумма квадратов всегда неотрицательна, значит, это неравенство тоже верно! 4) $(3a + 2)(2a - 4) - (2a - 5)^2 > 3(4a – 12)$ * Раскроем скобки: $6a^2 - 12a + 4a - 8 - (4a^2 - 20a + 25) > 12a - 36$ * Упростим: $6a^2 - 8a - 8 - 4a^2 + 20a - 25 > 12a - 36$ * Приведем подобные слагаемые: $2a^2 + 12a - 33 > 12a - 36$ * Сократим $12a$ с обеих сторон: $2a^2 - 33 > -36$ * Перенесем $-36$ в левую часть: $2a^2 + 3 > 0$ * Это неравенство верно всегда, так как $2a^2$ всегда больше или равно нулю, и прибавив 3, мы получим положительное число. 5) $a(a – 3) > 5(a – 4)$ * Раскроем скобки: $a^2 - 3a > 5a - 20$ * Перенесем все в левую часть: $a^2 - 8a + 20 > 0$ * Выделим полный квадрат: $(a - 4)^2 + 4 > 0$ * Это неравенство тоже верно всегда, потому что $(a - 4)^2$ всегда неотрицательно, и прибавив 4, мы получим положительное число. 6) $(a - b)(a + 5b) ≤ (2a + b)(a + b) + ab$ * Раскроем скобки: $a^2 + 5ab - ba - 5b^2 ≤ 2a^2 + 2ab + ba + b^2 + ab$ * Упростим: $a^2 + 4ab - 5b^2 ≤ 2a^2 + 4ab + b^2$ * Перенесем все в правую часть: $0 ≤ a^2 + 6b^2$ * Это неравенство верно всегда, потому что $a^2$ и $b^2$ всегда неотрицательны, и их сумма тоже неотрицательна.