Ты просишь меня решить задачи: упростить выражение, найти значение выражения, решить уравнение и другие.

Давай решим эти задачи по порядку! 1. Упростить выражение: $$\left(\frac{b}{a^2-ab} - \frac{a}{ab-b^2}\right) \cdot \frac{ab}{a+b}$$ $$\left(\frac{b}{a(a-b)} - \frac{a}{b(a-b)}\right) \cdot \frac{ab}{a+b}$$ $$\left(\frac{b^2 - a^2}{ab(a-b)}\right) \cdot \frac{ab}{a+b}$$ $$\frac{(b-a)(b+a)}{ab(a-b)} \cdot \frac{ab}{a+b}$$ $$\frac{-(a-b)(a+b)}{ab(a-b)} \cdot \frac{ab}{a+b} = -1$$ **Ответ: -1** 2. Найти значение выражения $\frac{a^{-6} \cdot a^{-10}}{a^{-14}}$ при $a = \frac{1}{8}$: $$\frac{a^{-6} \cdot a^{-10}}{a^{-14}} = \frac{a^{-16}}{a^{-14}} = a^{-16 - (-14)} = a^{-2} = \frac{1}{a^2}$$ Т.к. $a = \frac{1}{8}$: $$\frac{1}{(\frac{1}{8})^2} = \frac{1}{\frac{1}{64}} = 64$$ **Ответ: 64** 3. Упростить выражение $\sqrt{2(\sqrt{3}+\sqrt{18})} - 2^{-1} \cdot \sqrt{24}$: $$\sqrt{2(\sqrt{3}+3\sqrt{2})} - \frac{1}{2} \cdot \sqrt{4 \cdot 6}$$ $$\sqrt{2\sqrt{3}+6\sqrt{2}} - \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{6}$$ $$\sqrt{2\sqrt{3}+6\sqrt{2}} - \sqrt{6}$$ **Ответ: $\sqrt{2\sqrt{3}+6\sqrt{2}} - \sqrt{6}$** 4. Решить уравнение $\frac{6}{x-2} + \frac{5}{x} = 3$: Домножаем обе части на $x(x-2)$: $$6x + 5(x-2) = 3x(x-2)$$ $$6x + 5x - 10 = 3x^2 - 6x$$ $$11x - 10 = 3x^2 - 6x$$ $$3x^2 - 17x + 10 = 0$$ $$D = (-17)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 10 = 289 - 120 = 169$$ $$x_1 = \frac{17 + \sqrt{169}}{2 \cdot 3} = \frac{17 + 13}{6} = \frac{30}{6} = 5$$ $$x_2 = \frac{17 - \sqrt{169}}{2 \cdot 3} = \frac{17 - 13}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$$ **Ответ: x = 5 и x = 2/3** 5. Моторная лодка прошла по течению реки 10 км и против течения 8 км, затратив на весь путь 1 ч. Скорость течения реки 2 км/ч. Найдите скорость движения моторной лодки против течения реки. Пусть $v$ - собственная скорость лодки. Тогда скорость по течению $v + 2$, а против течения $v - 2$. Время по течению $\frac{10}{v+2}$, время против течения $\frac{8}{v-2}$. $$\frac{10}{v+2} + \frac{8}{v-2} = 1$$ $$10(v-2) + 8(v+2) = (v+2)(v-2)$$ $$10v - 20 + 8v + 16 = v^2 - 4$$ $$18v - 4 = v^2 - 4$$ $$v^2 - 18v = 0$$ $$v(v-18) = 0$$ $v = 0$ не подходит, значит $v = 18$ км/ч. Скорость против течения $18 - 2 = 16$ км/ч. **Ответ: 16 км/ч** 6. Решить графически уравнение: $x^2 = 2x + 3$. Чтобы решить графически, нужно построить графики функций $y = x^2$ и $y = 2x + 3$ и найти точки их пересечения. Абсциссы этих точек и будут решениями уравнения. $y = x^2$ - это парабола с вершиной в точке (0,0). $y = 2x + 3$ - это прямая, проходящая через точки (0,3) и (-1,1). Точки пересечения этих графиков: (-1, 1) и (3, 9). **Ответ: x = -1 и x = 3** 7. В уравнении $x^2 + px - 18 = 0$ один из корней равен -9. Найдите другой корень и коэффициент $p$. Пусть $x_1 = -9$. Подставим в уравнение: $$(-9)^2 + p(-9) - 18 = 0$$ $$81 - 9p - 18 = 0$$ $$63 - 9p = 0$$ $$9p = 63$$ $$p = 7$$ Теперь уравнение имеет вид: $x^2 + 7x - 18 = 0$. По теореме Виета: $$x_1 + x_2 = -7$$ $$-9 + x_2 = -7$$ $$x_2 = -7 + 9 = 2$$ **Ответ: другой корень x = 2, коэффициент p = 7** 8. При каких значениях $x$ имеет смысл выражение $\frac{\sqrt{11-x}}{2-x}$? Выражение имеет смысл, когда: 1. Подкоренное выражение неотрицательно: $11 - x \geq 0$, то есть $x \leq 11$. 2. Знаменатель не равен нулю: $2 - x \neq 0$, то есть $x \neq 2$. **Ответ: $x \leq 11$ и $x \neq 2$**