Можешь доказать, что при любом значении переменной верно неравенство (p-3)(p + 4) <p(p + 1)?

1) $(p-3)(p+4) < p(p+1)$ Раскроем скобки с обеих сторон: $p^2 + 4p - 3p - 12 < p^2 + p$ $p^2 + p - 12 < p^2 + p$ Теперь вычтем $(p^2 + p)$ из обеих частей: $-12 < 0$ Так как $-12$ всегда меньше $0$, это неравенство верно при любом значении $p$. 2) $(x + 1)^2 > x(x + 2)$ Раскроем скобки: $x^2 + 2x + 1 > x^2 + 2x$ Вычтем $(x^2 + 2x)$ из обеих частей: $1 > 0$ Так как $1$ всегда больше $0$, это неравенство верно при любом значении $x$. 3) $(a - 5)(a + 2) > (a + 5)(a - 8)$ Раскроем скобки: $a^2 + 2a - 5a - 10 > a^2 - 8a + 5a - 40$ $a^2 - 3a - 10 > a^2 - 3a - 40$ Вычтем $(a^2 - 3a)$ из обеих частей: $-10 > -40$ Это неравенство тоже верно, так как $-10$ больше $-40$. 4) $y(y + 8) < (y + 4)^2$ Раскроем скобки: $y^2 + 8y < y^2 + 8y + 16$ Вычтем $(y^2 + 8y)$ из обеих частей: $0 < 16$ Это неравенство верно при любом значении $y$. 5) $(2a - 5)^2 \le 6a^2 - 20a + 25$ Раскроем скобки: $4a^2 - 20a + 25 \le 6a^2 - 20a + 25$ Вычтем $(-20a + 25)$ из обеих частей: $4a^2 \le 6a^2$ Вычтем $4a^2$ из обеих частей: $0 \le 2a^2$ Разделим обе части на $2$: $0 \le a^2$ Это неравенство верно, так как квадрат любого числа всегда неотрицателен. 6) $a^2 + 4 \ge 4a$ Перенесем $4a$ в левую часть: $a^2 - 4a + 4 \ge 0$ Заметим, что левая часть — это полный квадрат: $(a - 2)^2 \ge 0$ Квадрат любого числа всегда неотрицателен, поэтому это неравенство верно при любом значении $a$. 1) Если $a > b$, то $\frac{a}{b} > 1$? Это утверждение верно только если $b > 0$. Если $b < 0$, то знак неравенства изменится. 2) Если $a > 1$, то $\frac{2}{a} < 2$? Разделим обе части неравенства $a > 1$ на $a$ (так как $a > 1$, то $a$ положительное число, и знак неравенства не меняется): $\,\frac{a}{a} > \frac{1}{a}$ $1 > \frac{1}{a}$ Умножим обе части на 2: $2 > \frac{2}{a}$ То есть $\frac{2}{a} < 2$. Утверждение верно. 3) Если $a < 1$, то $\frac{2}{a} > 2$? Разделим обе части неравенства $a < 1$ на $a$. Если $a$ положительное, то знак неравенства не меняется: $\frac{a}{a} < \frac{1}{a}$ $1 < \frac{1}{a}$ Умножим обе части на 2: $2 < \frac{2}{a}$ То есть $\frac{2}{a} > 2$. Но если $a$ отрицательное, то знак неравенства изменится, и утверждение не будет верным. 4) Если $\frac{a}{b} > 1$, то $a > b$? Это утверждение верно, только если $b > 0$. Если $b < 0$, то знак неравенства изменится. 5) Если $a^2 > 1$, то $a > 1$? Не всегда. Например, если $a = -2$, то $a^2 = 4 > 1$, но $a$ не больше 1. Это утверждение верно только для положительных $a$.